Problème — Identité de Lagrange, inégalités de Cauchy–Schwarz et de Minkowski

1) Deux sommes doubles. Un produit de deux sommes finies est la somme double des produits, sur le carré des indices. Pour $AB$, on nomme $i$ l'indice de la première somme et $j$ celui de la seconde : $$AB=\left(\sum _{i=1}^n{a}_i^2\right)\left(\sum _{j=1}^n{b}_j^2\right)=\sum _{1\le i,j\le n}{a}_i^2{b}_j^2.$$ Pour $C^2=C\cdot C$, on écrit la seconde copie de $C$ avec l'indice $j$ — deux indices différents pour deux sommes différentes, même si elles sont égales : $$C^2=\left(\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i\right)\left(\sum _{j=1}^n{a}_j{b}_j\right)=\sum _{1\le i,j\le n}{a}_i{b}_i{a}_j{b}_j.$$

2) La symétrisation. Développons le carré du terme général : $$(a_i{b}_j-a_j{b}_i{)}^2=a_i^2{b}_j^2-2a_i{b}_j{a}_j{b}_i+a_j^2{b}_i^2.$$ Sommons sur le carré $\{1,\dots ,n{\}}^2$. Le premier morceau donne $\sum _{i,j}{a}_i^2{b}_j^2=AB$ par le 1). Le troisième donne $\sum _{i,j}{a}_j^2{b}_i^2$, qui est la même somme que la première à l'échange près des noms des indices $(i,j)\mapsto (j,i)$, changement d'indices qui parcourt le même carré : donc encore $AB$. Le deuxième donne $-2\sum _{i,j}{a}_i{b}_i{a}_j{b}_j=-2C^2$ par le 1). Ainsi $$\sum _{1\le i,j\le n}(a_i{b}_j-a_j{b}_i{)}^2=AB-2C^2+AB=2(AB-C^2).$$

L'identité de Lagrange. Découpons le carré en trois : la diagonale $i=j$, le triangle strict $i<j$, le triangle strict $i>j$. Sur la diagonale, le terme vaut $(a_i{b}_i-a_i{b}_i{)}^2=0$. Sur les deux triangles, le terme est symétrique : $(a_j{b}_i-a_i{b}_j{)}^2=(a_i{b}_j-a_j{b}_i{)}^2$, donc les deux triangles portent la même somme. D'où $$2(AB-C^2)=0+2\sum _{1\le i<j\le n}(a_i{b}_j-a_j{b}_i{)}^2,\text{soit}AB-C^2=\sum _{1\le i<j\le n}(a_i{b}_j-a_j{b}_i{)}^2.$$ C'est l'identité de Lagrange : la différence $AB-C^2$ est une somme de carrés. Pour $n=2$ elle se lit $(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)-(a_1{b}_1+a_2{b}_2{)}^2=(a_1{b}_2-a_2{b}_1{)}^2$, qu'on vérifie en développant.

3) Cauchy–Schwarz et son cas d'égalité. Une somme de carrés de réels est positive ou nulle : $AB-C^2\ge 0$, c'est-à-dire $C^2\le AB$. C'est l'inégalité de Cauchy–Schwarz, et elle est démontrée.

Cas d'égalité. Une somme de carrés est nulle si et seulement si chaque carré est nul. Donc $C^2=AB$ si et seulement si $a_i{b}_j=a_j{b}_i$ pour tous $i<j$ — et donc pour tous $i,j$, l'égalité étant symétrique et triviale pour $i=j$.

Supposons cette condition vérifiée. Si tous les $a_i$ sont nuls, on est dans le premier cas. Sinon, il existe $i_0$ avec $a_{i_0}\ne 0$ ; posons $\lambda =\frac{b_{i_0}}{a_{i_0}}$. Pour tout $j$, la condition avec $i=i_0$ donne $a_{i_0}{b}_j=a_j{b}_{i_0}$, et en divisant par $a_{i_0}$ : $b_j=\lambda a_j$. Réciproquement, si $b_j=\lambda a_j$ pour tout $j$, alors $a_i{b}_j-a_j{b}_i=\lambda a_i{a}_j-\lambda a_j{a}_i=0$ pour tous $i,j$, et si tous les $a_i$ sont nuls, tous les termes sont nuls aussi. Il y a égalité si et seulement si les deux familles sont proportionnelles — l'une des deux pouvant être nulle.

Le point délicat. Le cas d'égalité ne se lit pas sur l'inégalité, il se lit sur la somme de carrés qui la démontre : c'est l'identité de Lagrange, et non l'inégalité, qui dit quand on a égalité. Une preuve qui n'aurait établi que $C^2\le AB$ ne permettrait pas de conclure.

4) Deux applications. Première. Prenons $b_i=1$ pour tout $i$ : alors $B=n$, $C=\sum a_i$, et Cauchy–Schwarz donne $${\left(\sum _{i=1}^n{a}_i\right)}^2\le n\sum _{i=1}^n{a}_i^2,$$ avec égalité si et seulement si les $a_i$ sont proportionnels à la famille constante $(1,\dots ,1)$, c'est-à-dire tous égaux (le cas « tous nuls » y est inclus). Divisée par $n^2$, l'inégalité dit que le carré de la moyenne est inférieur à la moyenne des carrés.

Seconde. Pour des $a_i>0$, appliquons Cauchy–Schwarz aux deux familles $\sqrt{a_i}$ et $\frac{1}{\sqrt{a_i}}$ : leurs carrés sont $a_i$ et $\frac{1}{a_i}$, et leurs produits valent $1$. Donc $$n^2={\left(\sum _{i=1}^n\sqrt{a_i}\cdot \frac{1}{\sqrt{a_i}}\right)}^2\le \left(\sum _{i=1}^n{a}_i\right)\left(\sum _{i=1}^n\frac{1}{a_i}\right),$$ avec égalité si et seulement si $\frac{1}{\sqrt{a_i}}=\lambda \sqrt{a_i}$ pour tout $i$, soit $a_i=\frac{1}{\lambda }$ pour tout $i$ : les $a_i$ tous égaux. Réécrite, l'inégalité s'énonce $$\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\cdots +\frac{1}{a_n}}\le \frac{a_1+\cdots +a_n}{n}:$$ la moyenne harmonique est inférieure à la moyenne arithmétique. Contrôle : pour $a=(1,4)$, $\frac{2}{1+1/4}=1,6\le 2,5$.

5) Minkowski. Développons le carré de la somme : $$\sum _{i=1}^n(a_i+b_i{)}^2=\sum a_i^2+2\sum a_i{b}_i+\sum b_i^2=A+2C+B.$$ Or $C\le |C|=\sqrt{C^2}\le \sqrt{AB}=\sqrt{A}\sqrt{B}$ par Cauchy–Schwarz (la racine carrée est croissante). Donc $$\sum _{i=1}^n(a_i+b_i{)}^2\le A+2\sqrt{A}\sqrt{B}+B={\left(\sqrt{A}+\sqrt{B}\right)}^2.$$ Les deux membres sont positifs et la racine carrée est croissante sur ${\mathbb{R}}_{+}$ : en prenant la racine, $$\sqrt{\sum _{i=1}^n(a_i+b_i{)}^2}\le \sqrt{\sum _{i=1}^n{a}_i^2}+\sqrt{\sum _{i=1}^n{b}_i^2}.$$ Pour $n=1$, $\sqrt{a^2}=|a|$, et l'inégalité s'écrit $|a+b|\le |a|+|b|$ : c'est l'inégalité triangulaire de la valeur absolue, celle du cours. Minkowski en est la version à $n$ coordonnées.

6) Le cas d'égalité de Minkowski. Reprenons la chaîne du 5) : il y a égalité si et seulement si $A+2C+B=A+2\sqrt{A}\sqrt{B}+B$, c'est-à-dire $C=\sqrt{A}\sqrt{B}$, ce qui exige à la fois $C\ge 0$ et $C^2=AB$. Par le 3), $C^2=AB$ signifie : $a$ nulle, ou $b=\lambda a$. Dans le second cas, $C=\sum a_i\cdot \lambda a_i=\lambda A$, et si $a$ n'est pas nulle, $A>0$, donc $C\ge 0$ équivaut à $\lambda \ge 0$. Réciproquement, si $a$ est nulle, les deux membres valent $\sqrt{B}$ ; si $b=\lambda a$ avec $\lambda \ge 0$, le membre de gauche vaut $\sqrt{(1+\lambda {)}^{2}A}=(1+\lambda )\sqrt{A}$ et le membre de droite $\sqrt{A}+\lambda \sqrt{A}$ : égalité. Il y a égalité si et seulement si $a$ est nulle ou $b$ est un multiple positif de $a$.

Pour $n=2$. Un couple $(a_1,a_2)$ est un vecteur du plan, et $\sqrt{a_1^2+a_2^2}$ est sa longueur. Minkowski dit que la longueur d'une somme de deux vecteurs est au plus la somme des longueurs — l'inégalité triangulaire du plan, celle qui dit que dans un triangle, un côté est plus court que la somme des deux autres — avec égalité exactement quand les deux vecteurs sont colinéaires de même sens : le triangle est aplati. Et Cauchy–Schwarz, pour $n=2$, dit $|a_1{b}_1+a_2{b}_2|\le \sqrt{a_1^2+a_2^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2}$ : le produit scalaire est majoré par le produit des longueurs, ce qui est la définition même du cosinus d'un angle.

Les théorèmes obtenus. Inégalité de Cauchy–Schwarz : pour tous réels $a_1,\dots ,a_n,b_1,\dots ,b_n$, $${\left(\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i\right)}^2\le \left(\sum _{i=1}^n{a}_i^2\right)\left(\sum _{i=1}^n{b}_i^2\right),$$ avec égalité si et seulement si les deux familles sont proportionnelles. Inégalité de Minkowski : $\sqrt{\sum (a_i+b_i{)}^2}\le \sqrt{\sum a_i^2}+\sqrt{\sum b_i^2}$, avec égalité si et seulement si l'une des familles est un multiple positif de l'autre. La quantité $\sqrt{\sum a_i^2}$ vérifie donc l'inégalité triangulaire : c'est une longueur, et on l'appellera la norme euclidienne de ${\mathbb{R}}^n$.

Ce que le problème installe. Deux idées qui dépassent de loin ce chapitre. La première : pour démontrer une inégalité, on écrit la différence comme une somme de carrés ; l'inégalité en découle, et son cas d'égalité aussi — c'est la méthode qui redémontrera Cauchy–Schwarz au chapitre des espaces préhilbertiens, avec un trinôme du second degré à la place de l'identité de Lagrange. La seconde : la symétrisation d'une somme double — écrire deux fois la même somme avec les indices échangés, additionner, diviser par deux — fait apparaître les carrés là où il n'y avait qu'un produit. Avec l'exercice 2, la séance a donc fait deux fois le même découpage du carré en diagonale et triangles : une fois pour calculer, une fois pour démontrer.