Résoudre dans ℝ, puis sur [0, 2π[ : cos x = 1/2, sin x = -√2/2, tan x…

Stratégie : revenir au cercle trigonométrique. Chaque équation se lit comme une position sur le cercle ; le nombre de familles de solutions est dicté par le nombre de points du cercle qui conviennent.

1) $\cos x=\frac{1}{2}$.

Sur le cercle, l'abscisse $\frac{1}{2}$ est atteinte en deux points, symétriques par rapport à l'axe des abscisses. Comme $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$ : $$\cos x=\cos \frac{\pi }{3}⟺x\equiv \frac{\pi }{3}[2\pi ]\text{ou}x\equiv -\frac{\pi }{3}[2\pi ]$$ $${\mathcal{S}}_{\mathbb{R}}=\left\{\frac{\pi }{3}+2k\pi ;-\frac{\pi }{3}+2k\pi |k\in \mathbb{Z}\right\}$$ Sur $[0,2\pi [$ : $\boxed{\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{3}}$ (car $-\frac{\pi }{3}+2\pi =\frac{5\pi }{3}$).

2) $\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

L'ordonnée $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ est atteinte en deux points, symétriques cette fois par rapport à l'axe des ordonnées. Comme $\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ : $$\sin x=\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)⟺x\equiv -\frac{\pi }{4}[2\pi ]\text{ou}x\equiv \pi +\frac{\pi }{4}=\frac{5\pi }{4}[2\pi ]$$ ⚠️ La seconde famille est $\pi -\theta$, pas $-\theta$ : c'est là que l'on confond avec le cosinus. Ici $\pi -\left(-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{5\pi }{4}$. Sur $[0,2\pi [$ : $\boxed{\frac{5\pi }{4},\frac{7\pi }{4}}$ (car $-\frac{\pi }{4}+2\pi =\frac{7\pi }{4}$).

3) $\tan x=\sqrt{3}$.

La tangente est de période $\pi$, et non $2\pi$ : les deux points diamétralement opposés du cercle donnent la même tangente. Il n'y a donc qu'une famille. Comme $\tan \frac{\pi }{3}=\sqrt{3}$ : $$\tan x=\tan \frac{\pi }{3}⟺x\equiv \frac{\pi }{3}[\pi ]$$ $${\mathcal{S}}_{\mathbb{R}}=\left\{\frac{\pi }{3}+k\pi |k\in \mathbb{Z}\right\}$$ Sur $[0,2\pi [$ : $\boxed{\frac{\pi }{3},\frac{4\pi }{3}}$.

(On n'oublie pas que $\tan$ n'est définie que pour $x\not\equiv \frac{\pi }{2}[\pi ]$ ; les solutions trouvées y échappent.)

Le tableau qu'il faut avoir en tête.

• $\cos x=\cos a⟺x\equiv a[2\pi ]$ ou $x\equiv -a[2\pi ]$ ;
• $\sin x=\sin a⟺x\equiv a[2\pi ]$ ou $x\equiv \pi -a[2\pi ]$ ;
• $\tan x=\tan a⟺x\equiv a[\pi ]$.

Deux familles pour $\cos$ et $\sin$, une seule pour $\tan$ : c'est la période qui décide, et l'oubli d'une famille est l'erreur la plus fréquente du chapitre.