L'inégalité à $\epsilon$ près

La stratégie : par l'absurde, et choisir l'$\epsilon$. L'hypothèse porte sur tous les $\epsilon >0$. Sa force est qu'on peut l'appliquer à l'un d'eux, choisi exprès pour produire une contradiction. Toute la démonstration tient dans ce choix. Ce qu'on a le droit d'utiliser : la compatibilité de l'ordre avec l'addition et avec la multiplication par un réel positif, et le fait que l'ordre sur $\mathbb{R}$ est total — deux réels sont toujours comparables.

a) Le lemme. Supposons, par l'absurde, que $a>b$. Posons $${\epsilon }_0=\frac{a-b}{2}.$$ Comme $a>b$, on a $a-b>0$, donc ${\epsilon }_0>0$ : c'est un $\epsilon$ admissible, et l'hypothèse s'applique à lui. Elle donne $$a\le b+{\epsilon }_0=b+\frac{a-b}{2}=\frac{a+b}{2}.$$ Or $a>b$ entraîne $a+b<a+a$, donc $\frac{a+b}{2}<a$. On obtient $a\le \frac{a+b}{2}<a$, c'est-à-dire $a<a$ : contradiction. L'hypothèse $a>b$ est donc intenable ; comme l'ordre sur $\mathbb{R}$ est total, il reste $a\le b$. Ce qui achève la démonstration.

Pourquoi ce ${\epsilon }_0$ précisément. N'importe quel $\epsilon$ strictement compris entre $0$ et $a-b$ conviendrait : avec $\epsilon =a-b$ lui-même on obtiendrait $a\le a$, qui n'est pas une contradiction ; avec $\epsilon =0$, on sortirait de l'hypothèse. La moitié de l'écart est le choix le plus simple qui soit strictement positif et strictement plus petit que l'écart.

Peut-on conclure $a<b$ ? Non. Avec $a=b$, l'hypothèse « $a\le b+\epsilon$ pour tout $\epsilon >0$ » est vraie, et pourtant $a<b$ est faux. L'inégalité obtenue est large, même si l'on part d'inégalités strictes : si $a<b+\epsilon$ pour tout $\epsilon >0$, on a a fortiori $a\le b+\epsilon$, donc $a\le b$, et rien de plus. L'inégalité stricte se perd au passage « pour tout $\epsilon$ » — c'est l'une des erreurs les plus fréquentes de l'année, et elle se reproduira à chaque passage à la limite.

b) L'égalité à $\epsilon$ près. L'hypothèse $|a-b|\le \epsilon$ signifie $-\epsilon \le a-b\le \epsilon$, c'est-à-dire à la fois $a\le b+\epsilon$ et $b\le a+\epsilon$. Le a), appliqué deux fois (une fois à $(a,b)$, une fois à $(b,a)$), donne $a\le b$ et $b\le a$, donc $a=b$ par antisymétrie de l'ordre. Deux réels dont la distance est plus petite que tout $\epsilon >0$ sont égaux : c'est la forme sous laquelle on démontrera l'unicité d'une limite.

c) Un cas où les $\epsilon$ sont les $\frac{1}{n}$. Supposons par l'absurde $x>0$. Alors $\frac{1}{x}>0$, et l'entier $n=\lfloor \frac{1}{x}\rfloor +1$ vérifie $n>\frac{1}{x}$, donc $n\ge 1$ et $\frac{1}{n}<x$ (on inverse deux réels strictement positifs, ce qui renverse l'inégalité). Cela contredit $x\le \frac{1}{n}$. Donc $x\le 0$.

Ce que c'est. C'est le a) avec $b=0$ et $\epsilon =\frac{1}{n}$ — à ceci près que l'hypothèse ne porte plus sur tous les $\epsilon >0$ mais seulement sur ceux de la forme $\frac{1}{n}$ ; et cela suffit, parce que tout $\epsilon >0$ est dépassé par un $\frac{1}{n}$ : c'est encore la partie entière qui le garantit, comme à l'exercice précédent. On retiendra qu'une suite de $\epsilon$ qui tend vers zéro suffit.

Ce que l'exercice installe. C'est le raisonnement de l'analyse : pour établir $a\le b$, on montre l'inégalité « à $\epsilon$ près » pour tout $\epsilon >0$, et l'on conclut. On le retrouvera, sous cette forme exacte, pour la borne supérieure, pour les limites de suites et de fonctions, pour les intégrales. Et l'on retiendra la règle : ce qu'on obtient ainsi est toujours une inégalité large.