Deux implications fausses : continuité et dérivées partielles

La stratégie. Pour nier une limite en $(0,0)$, il suffit d'exhiber deux chemins d'approche sur lesquels la fonction ne tend pas vers la même valeur. Pour nier une dérivée partielle, il suffit d'un taux d'accroissement sans limite. Et pour nier la classe ${\mathcal{C}}^1$, il suffit qu'une dérivée partielle ne soit pas continue — ici, pas même bornée.

a) Des dérivées partielles, mais pas de continuité. Les fonctions partielles sont nulles. Pour tout réel $x\ne 0$, $f(x,0)=\frac{x\cdot 0}{x^2}=0$, et $f(0,0)=0$ : la fonction partielle $x\mapsto f(x,0)$ est identiquement nulle, donc dérivable en $0$ de dérivée nulle : $$\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=0,\text{et de meˆme}\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0.$$ Le long de la diagonale, tout change. Pour $x\ne 0$, $f(x,x)=\frac{x^2}{2x^2}=\frac{1}{2}$. Le point $(x,x)$ tend vers $(0,0)$ quand $x\to 0$, mais $f(x,x)$ vaut constamment $\frac{1}{2}\ne 0=f(0,0)$. Donc $f$ n'est pas continue en $(0,0)$.

Le passage en polaires dit tout d'un coup. Pour $r>0$, $f(r\cos \theta ,r\sin \theta )=\frac{r^2\cos \theta \sin \theta }{r^2}=\frac{\sin 2\theta }{2}$ : le résultat ne dépend pas de $r$. Sur chaque cercle centré en l'origine, si petit soit-il, $f$ décrit tout l'intervalle $\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$ ; la valeur dépend de la direction d'approche, et il n'y a aucune limite.

b) Continue, mais sans dérivées partielles. Continuité. On reconnaît $g(x,y)=\Vert (x,y)\Vert$, la norme euclidienne. L'inégalité triangulaire du chapitre des espaces préhilbertiens donne, pour $u,v\in {\mathbb{R}}^2$, $\Vert u\Vert =\Vert (u-v)+v\Vert \le \Vert u-v\Vert +\Vert v\Vert$, et symétriquement, d'où $|\Vert u\Vert -\Vert v\Vert |\le \Vert u-v\Vert$. Donc $|g(u)-g(v)|\le \Vert u-v\Vert$ : $g$ est $1$-lipschitzienne, donc continue en tout point.

Pas de dérivée partielle en $(0,0)$. La fonction partielle $x\mapsto g(x,0)=\sqrt{x^2}=|x|$ a pour taux d'accroissement en $0$ $$\frac{g(t,0)-g(0,0)}{t}=\frac{|t|}{t}=\{\begin{array}{ll}1& \text{si }t>0,\\ -1& \text{si }t<0,\end{array}$$ dont les limites à droite et à gauche diffèrent : le taux n'a pas de limite, $\frac{\partial g}{\partial x}(0,0)$ n'existe pas. Par symétrie des rôles de $x$ et $y$, $\frac{\partial g}{\partial y}(0,0)$ n'existe pas non plus. Géométriquement, la surface $z=\sqrt{x^2+y^2}$ est un cône de sommet l'origine : à sa pointe, aucun plan ne l'épouse.

c) Une dérivée partielle non bornée. Pour $(x,y)\ne (0,0)$, la règle de dérivation d'un quotient, $y$ étant traité comme une constante, donne $$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{y(x^2+y^2)-xy\cdot 2x}{(x^2+y^2{)}^2}=\frac{y(y^2-x^2)}{(x^2+y^2{)}^2}.$$ Sur l'axe des ordonnées, pour $y\ne 0$ : $\frac{\partial f}{\partial x}(0,y)=\frac{y\cdot y^2}{y^4}=\frac{1}{y}$, qui tend vers $\pm \infty$ quand $y\to 0$. La dérivée partielle n'est bornée sur aucun voisinage de l'origine.

Conclusion. Si $f$ était de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$, sa dérivée partielle $\frac{\partial f}{\partial x}$ serait continue en $(0,0)$ ; on aurait alors $\frac{\partial f}{\partial x}(0,y)\to \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0$ quand $y\to 0$ — or $\frac{1}{y}$ ne tend pas vers $0$. Contradiction : $f$ n'est pas de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$. (En polaires, $\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\sin \theta ({\sin }^2\theta -{\cos }^2\theta )}{r}=-\frac{\sin \theta \cos 2\theta }{r}$ : un facteur $\frac{1}{r}$ qui explose, sauf dans les directions où le numérateur s'annule.)

d) Le cadre ${\mathcal{C}}^1$. Le programme énonce que si $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ au voisinage de $(x_0,y_0)$, elle y admet un développement limité à l'ordre $1$ : $f(x_0+h,y_0+k)=f(x_0,y_0)+⟨\nabla f(x_0,y_0),(h,k)⟩+o(\Vert (h,k)\Vert )$. Ce développement entraîne la continuité : quand $(h,k)\to (0,0)$, le produit scalaire tend vers $0$ (il est majoré en valeur absolue par $\Vert \nabla f(x_0,y_0)\Vert \Vert (h,k)\Vert$, Cauchy-Schwarz) et le reste aussi, donc $f(x_0+h,y_0+k)\to f(x_0,y_0)$. Les deux exemples de l'exercice sont donc cohérents avec le théorème : $f$ n'est pas ${\mathcal{C}}^1$ (question c), et elle n'a ni continuité ni développement limité ; $g$ n'a pas de dérivées partielles à l'origine, donc n'y est pas ${\mathcal{C}}^1$ non plus, bien qu'elle soit continue. **La classe ${\mathcal{C}}^1$ — dérivées partielles existantes et continues — est la seule hypothèse du programme qui donne tout à la fois.**

Le point délicat : les fonctions partielles n'explorent que deux droites. Elles regardent l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées, deux directions parmi une infinité — et pour $f$, précisément les deux où $\sin 2\theta =0$. Leur continuité, leur dérivabilité, ne disent rien du comportement de $f$ dans les autres directions. C'est la différence radicale avec une variable, où il n'y a que deux façons d'approcher un point.

Ce que l'exercice installe. En deux variables, « continue » et « admet des dérivées partielles » sont deux propriétés indépendantes : aucune n'entraîne l'autre. C'est ce désordre que la classe ${\mathcal{C}}^1$ discipline, et c'est pourquoi tout le chapitre travaille sous cette hypothèse. Instrument à retenir : le passage en polaires — si $|f|\le \phi (r)$ avec $\phi (r)\to 0$, il y a limite ; si l'expression garde une dépendance en $\theta$ à $r$ fixé, il n'y en a pas.