Exercices corrigés — Fonctions de deux variables (mathématiques MPSI)
25 exercices avec corrigé rédigé, du plus simple au plus exigeant.
A. Ouverts, continuité, surfaces
- Deux implications fausses : continuité et dérivées partielles Exercice de TD
- Montrer que toute boule ouverte B(a, r) = { m ∈ ℝ² : ‖m - a‖ < r } est… Exercice classique
B. Dérivées partielles, plan tangent, gradient
- La boussole du gradient, et la descente qu'elle guide Exercice de TD
- Soit f(x, y) = √(x² + y²) (le cône). Montrer que f est continue sur ℝ²… Exercice classique
- Gradient et ligne de niveau Exercice classique
- Estimer par approximation linéaire la valeur de… Application directe du cours
- Calculs de dérivées partielles Application directe du cours
- Plan tangent et approximation linéaire Application directe du cours
- La plus forte pente Application directe du cours
- Dérivée selon un vecteur Application directe du cours
C. Règle de la chaîne
- Fonctions homogènes et relation d'Euler Exercice de TD
- Tangente à une ligne de niveau : les équations dédoublées Exercice de TD
- L'équation de transport, résolue par un changement de variables Exercice de TD
- Règle de la chaîne Application directe du cours
- Les coordonnées polaires Application directe du cours
D. Extremums
- Ce qu'une droite prouve, et ce qu'elle ne prouve pas Exercice de TD
- Le minimum global de Exercice de TD
- Le maximum de sur le triangle ouvert Exercice de TD
- Extremums sur un disque fermé Exercice de TD
- Problème — La droite des moindres carrés Exercice de TD
- Soit f(x,y) = ( y - x² ) ( y - 2x² ). a) Montrer que la restriction de… Exercice classique
- Trouver la distance du point (1, 0) à la parabole d'équation x = y²… Application directe du cours
- Optimisation concrète Application directe du cours
- Étude complète d'un point critique Application directe du cours
- Un col Application directe du cours