Montrer que toute boule ouverte B(a, r) = { m ∈ ℝ² : ‖m - a‖ < r } est…

Stratégie : revenir à la définition et FABRIQUER le rayon. Un ouvert est une partie dont chaque point est le centre d'une boule incluse dedans : la démonstration doit donc produire ce rayon explicitement.

1) La boule ouverte est un ouvert. Soit $m\in B(a,r)$, c'est-à-dire $\Vert m-a\Vert <r$. Posons $$\rho =r-\Vert m-a\Vert >0$$ Montrons que $B(m,\rho )\subset B(a,r)$. Soit $p\in B(m,\rho )$, donc $\Vert p-m\Vert <\rho$. L'inégalité triangulaire donne $$\Vert p-a\Vert ⩽\Vert p-m\Vert +\Vert m-a\Vert <\rho +\Vert m-a\Vert =r$$ donc $p\in B(a,r)$. Tout point de $B(a,r)$ est donc le centre d'une boule incluse dans $B(a,r)$ : c'est un ouvert.

⚠️ Deux points délicats, tous deux sur la stricte inégalité. Premier : $\rho >0$ parce que l'inégalité $\Vert m-a\Vert <r$ est stricte. Pour le disque fermé $\{\Vert m-a\Vert ⩽r\}$, un point du bord donne $\rho =0$ et l'argument s'effondre — de fait, le disque fermé n'est pas un ouvert. Second : le rayon $\rho$ dépend de $m$ : il rétrécit quand $m$ s'approche du bord, et aucun rayon commun à tous les points ne conviendrait. La définition d'ouvert est ponctuelle, et c'est essentiel.

2) Réunion quelconque. Soit $(U_i{)}_{i\in I}$ une famille (finie ou non) d'ouverts et $U={\bigcup }_{i\in I}{U}_i$. Soit $m\in U$ : il existe $i_0\in I$ avec $m\in U_{i_0}$. Comme $U_{i_0}$ est ouvert, il existe $\rho >0$ tel que $$B(m,\rho )\subset U_{i_0}\subset U$$ Donc $U$ est ouvert. En particulier, toute réunion de boules ouvertes est un ouvert.

3) Une intersection, en revanche, peut ne pas l'être. Une intersection finie d'ouverts reste ouverte (on prend le plus petit des rayons). Mais pas une intersection infinie : avec $a=(0,0)$, $$\bigcap _{n⩾1}B\left(a,1+\frac{1}{n}\right)=\{m:\Vert m\Vert ⩽1\}$$ le disque fermé, qui n'est pas un ouvert. (En effet $\Vert m\Vert ⩽1$ entraîne $\Vert m\Vert <1+\frac{1}{n}$ pour tout $n$ ; réciproquement, si $\Vert m\Vert <1+\frac{1}{n}$ pour tout $n$, alors $\Vert m\Vert ⩽1$ par passage à la limite.) Le « plus petit rayon » d'une infinité de rayons strictement positifs peut être nul : c'est toute la différence.

Contrôle chiffré. $a=(0,0)$, $r=1$, $m=(0,9;0)$ : la construction donne $\rho =1-0,9=0,1$. Le point $p=(0,99;0)$ est dans $B(m,\rho )$ (distance $0,09<0,1$) et vérifie $\Vert p\Vert =0,99<1$ ✓. Et le point $(1,0)$, qui est sur le bord, n'est pas dans $B(m,\rho )$ : sa distance à $m$ vaut exactement $0,1$, et l'inégalité est stricte ✓ — la marge fabriquée est exactement ajustée, ni trop grande ni trop petite.

Ce que l'exercice installe : les ouverts sont le cadre de tout le chapitre (extremum local $\Rightarrow$ point critique sur un ouvert). La recette pratique qui en découle : toute partie de ${\mathbb{R}}^2$ définie par des inégalités strictes entre fonctions continues est un ouvert — ainsi le triangle $\{x>0,y>0,x+y<1\}$ du n° 11.