mathématiques MPSI · Chapitre 20 · Application directe du cours

Un col

Fonctions de deux variables · D. Extremums · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Déterminer les points critiques de $f (x, y) = x^{3} + y^{3} - 3 x y$ et leur nature.

Corrigé

$\nabla f = 0$ donne $(0, 0)$ et $(1, 1)$ . En $(0, 0)$ : $f (x, 0) = x^{3}$ change de signe — point selle. En $(1, 1)$ : en posant $x = 1 + h$ , $y = 1 + k$ , $f + 1 = 3 (h - \frac{k}{2})^{2} + \frac{9}{4} k^{2} + h^{3} + k^{3},$ le terme quadratique défini positif domine : minimum local (pas global : $f (x, 0) \to - \infty$ ). Le duo gradient + forme canonique fait toute l'étude.

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