Extremums sur un disque fermé

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques MPSI, chapitre 20 — Fonctions de deux variables · D. Extremums

Énoncé

Soit $f (x, y) = x y$ , $D = {(x, y) : x^{2} + y^{2} < 1}$ le disque ouvert et $D = {x^{2} + y^{2} \leq 1}$ le disque fermé.

1) Déterminer les points critiques de $f$ sur $D$ et montrer, à l'aide des restrictions à deux droites bien choisies, que $f$ n'admet aucun extremum local sur l'ouvert $D$ .

2) Paramétrer le bord de $D$ par $t \mapsto (cos t, sin t)$ et étudier $g (t) = f (cos t, sin t)$ sur $[0, 2 π]$ : en quels points du cercle $g$ atteint-elle son maximum $\frac{1}{2}$ et son minimum $- \frac{1}{2}$ ?

3) Montrer que pour tout $(x, y) \in D$ , $∣ x y ∣ \leq \frac{x ^{2} + y ^{2}}{2} \leq \frac{1}{2}$ , et préciser les cas d'égalité. Conclure : $f$ admet sur $D$ un maximum et un minimum globaux, tous deux atteints sur le bord, en des points qui ne sont pas des points critiques.

4) Expliquer pourquoi la condition nécessaire « extremum implique point critique » ne s'applique pas aux points du bord, et énoncer la méthode générale. Que devient le résultat sur le disque $x^{2} + y^{2} \leq r^{2}$ ?

Corrigé

La stratégie. Le gradient ne voit que l'intérieur. Sur le bord, un paramétrage ramène à une fonction d'une variable sur un segment, dont on sait tout depuis le chapitre sur la dérivabilité. Et la globalité se prouve par une inégalité élémentaire — pas par un théorème d'existence, qui n'est pas au programme.

1) L'intérieur. $\nabla f = (y, x) = (0, 0)$ si et seulement si $(x, y) = (0, 0)$ : unique point critique, l'origine, où $f = 0$ . Sur la première bissectrice, $f (x, x) = x^{2} > 0$ pour $x \neq = 0$ ; sur la seconde, $f (x, - x) = - x^{2} < 0$ . Dans tout voisinage de l'origine, $f$ prend des valeurs des deux signes : l'origine est un col, pas un extremum local. Or $D$ est un ouvert et $f$ est de classe $C^{1}$ : tout extremum local sur $D$ serait un point critique, et le seul point critique n'en est pas un. $f$ n'a aucun extremum local sur $D$ .

2) Le bord. Le cercle unité est l'image de $[0, 2 π]$ par $t \mapsto (cos t, sin t)$ , et $g (t) = cos t sin t = \frac{sin 2 t}{2} .$ Sur $[0, 2 π]$ , $2 t$ parcourt $[0, 4 π]$ . Le maximum $\frac{1}{2}$ est atteint quand $sin 2 t = 1$ , soit $2 t = \frac{π}{2}$ ou $\frac{5 π}{2}$ , c'est-à-dire $t = \frac{π}{4}$ ou $\frac{5 π}{4}$ : les points $(\frac{2}{2}, \frac{2}{2})$ et $(- \frac{2}{2}, - \frac{2}{2})$ . Le minimum $- \frac{1}{2}$ est atteint quand $sin 2 t = - 1$ , soit $t = \frac{3 π}{4}$ ou $\frac{7 π}{4}$ : les points $(- \frac{2}{2}, \frac{2}{2})$ et $(\frac{2}{2}, - \frac{2}{2})$ .

3) La globalité par une inégalité. Pour tous réels, $(∣ x ∣ - ∣ y ∣)^{2} \geq 0$ donne $2∣ x ∣∣ y ∣ \leq x^{2} + y^{2}$ , soit $∣ x y ∣ \leq \frac{x ^{2} + y ^{2}}{2}$ , avec égalité si et seulement si $∣ x ∣ = ∣ y ∣$ . Sur $D$ , $x^{2} + y^{2} \leq 1$ , donc $∣ x y ∣ \leq \frac{1}{2}$ , avec égalité si et seulement si $∣ x ∣ = ∣ y ∣$ et $x^{2} + y^{2} = 1$ , c'est-à-dire $2 x^{2} = 1$ : les quatre points $(\pm \frac{2}{2}, \pm \frac{2}{2})$ . Parmi eux, $x y = \frac{1}{2}$ quand les signes sont égaux, $x y = - \frac{1}{2}$ quand ils sont opposés. Donc $D max f = \frac{1}{2}, D min f = - \frac{1}{2},$ atteints exactement aux points du 2). Ces quatre points sont sur le bord, et aucun n'est un point critique : $\nabla f = (y, x) \neq = (0, 0)$ en chacun. $f$ a des extremums globaux sur $D$ , tous au bord, et le gradient ne s'y annule pas.

4) Pourquoi le bord échappe à la condition nécessaire. La démonstration du théorème passe par la fonction partielle $x \mapsto f (x, y_{0})$ : si $f$ a un extremum local en $(x_{0}, y_{0})$ intérieur, cette fonction d'une variable a un extremum local en $x_{0}$ , point intérieur à un intervalle, donc sa dérivée s'y annule. En un point du bord, on ne peut pas se déplacer dans toutes les directions en restant dans le domaine : au point $(\frac{2}{2}, \frac{2}{2})$ , avancer dans la direction $(1, 1)$ fait sortir du disque, et c'est précisément dans cette direction que $f$ continuerait de croître. La condition nécessaire est un énoncé sur les ouverts, et le programme le formule ainsi.

La méthode générale. Pour une fonction $C^{1}$ sur une partie fermée bornée de $R^{2}$ : à l'intérieur, les candidats sont les points critiques ; sur le bord, on paramètre et l'on étudie une fonction d'une variable sur un segment ; on compare les valeurs obtenues. L'existence des extremums, ici, a été établie par l'inégalité du 3) ; en seconde année, c'est la compacité qui la fournira en général.

Le disque de rayon $r$ . La fonction $f$ est homogène de degré $2$ (exercice 3) : sur le cercle de rayon $r$ , $f (r cos t, r sin t) = r^{2} \frac{sin 2 t}{2}$ , et l'inégalité du 3) devient $∣ x y ∣ \leq \frac{x ^{2} + y ^{2}}{2} \leq \frac{r ^{2}}{2}$ . Maximum $\frac{r ^{2}}{2}$ et minimum $- \frac{r ^{2}}{2}$ , aux points $(\pm \frac{r}{2}, \pm \frac{r}{2})$ .

Ce que l'exercice installe. La condition nécessaire ne voit que l'intérieur ; un extremum au bord ne laisse aucune trace dans le gradient. Le bord se paramètre et devient un problème à une variable — le même geste que la distance d'un point à une courbe. Et la globalité, quand le domaine n'est pas tout le plan, se prouve par une inégalité, comme à l'exercice 8.

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