mathématiques MPSI · Chapitre 20 · Application directe du cours

Étude complète d'un point critique

Fonctions de deux variables · D. Extremums · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Déterminer les points critiques de $f (x, y) = x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 7$ , et leur nature.

Corrigé

$\nabla f = 0 ⟺ (x, y) = (1, 2)$ . La forme canonique tranche : $f (x, y) = (x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + 2 \geq 2 :$ minimum global, de valeur 2 — le bol translaté, et le gradient nul a trouvé son fond.

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