Soit f(x,y) = ( y - x² ) ( y - 2x² ). a) Montrer que la restriction de…

Stratégie : un contre-exemple, et il est célèbre. Il ruine définitivement l'idée que « tester toutes les droites » suffirait à décider de la nature d'un point critique en deux variables.

Préalable. $f$ est polynomiale, donc ${\mathcal{C}}^1$, et $f(0,0)=0$. On vérifie que $(0,0)$ est bien un point critique : en développant $f=y^2-3x^{2}y+2x^4$, on lit $\nabla f=\left(-6xy+8x^3,2y-3x^2\right)$, qui s'annule en $(0,0)$ ✓.

a) Sur toute droite passant par l'origine, c'est un minimum local strict.

La droite verticale $x=0$ : $f(0,y)=y\cdot y=y^2⩾0$, nul seulement en $y=0$. Minimum local strict ✓.

Une droite $y=\lambda x$ : $$f(x,\lambda x)=\left(\lambda x-x^2\right)\left(\lambda x-2x^2\right)=x^2\left(\lambda -x\right)\left(\lambda -2x\right)$$

• Si $\lambda \ne 0$ : pour $|x|<\frac{|\lambda |}{2}$, les deux facteurs $\lambda -x$ et $\lambda -2x$ ont le signe de $\lambda$, donc leur produit est $>0$. Ainsi $f(x,\lambda x)=x^2\times (\text{quantiteˊ}>0)>0$ pour $0<|x|<\frac{|\lambda |}{2}$. Minimum local strict ✓.
• Si $\lambda =0$ (l'axe des $x$) : $f(x,0)=(-x^2)(-2x^2)=2x^4>0$ pour $x\ne 0$. Minimum local strict ✓.

Sur chacune des droites du plan passant par l'origine, sans exception, la restriction de $f$ a donc un minimum local strict en $0$.

b) Et pourtant $(0,0)$ n'est pas un minimum local de $f$.

Suivons une parabole au lieu d'une droite : $y=\frac{3}{2}{x}^2$. Alors $$f\left(x,\frac{3}{2}{x}^2\right)=\left(\frac{3}{2}{x}^2-x^2\right)\left(\frac{3}{2}{x}^2-2x^2\right)=\left(\frac{1}{2}{x}^2\right)\left(-\frac{1}{2}{x}^2\right)=-\frac{x^4}{4}<0\text{pour }x\ne 0$$ Dans tout voisinage de l'origine, il existe donc des points où $f<0=f(0,0)$ : $(0,0)$ n'est pas un minimum local. $■$

⚠️ Le point délicat, et c'est la leçon de l'exercice. $f$ est négative exactement dans la région $$\left\{(x,y):x^2<y<2x^2\right\}$$ comprise entre les deux paraboles où $f$ s'annule. Cette région touche l'origine, mais elle est aplatie contre l'axe des $x$ : elle ne contient aucun segment de droite issue de l'origine. Voilà pourquoi les droites ne la voient pas — elles la traversent en un seul point, l'origine.

⚠️ L'asymétrie à retenir. La méthode des restrictions du cours sert à prouver qu'un point n'est pas un extremum : une seule direction où ça rate suffit, et c'est concluant. Elle ne prouve jamais qu'un point en est un — il faudrait examiner tous les chemins, ce que « toutes les droites » ne recouvre pas. C'est exactement le même phénomène qu'au n° 1, où les deux axes ne suffisaient pas à décider de la continuité.

Contrôle numérique. $f(0,1;0,015)=(0,015-0,010)(0,015-0,020)=(0,005)(-0,005)=-2,5\times 10^{-5}<0$, en un point situé à $0,101$ de l'origine ✓. Et plus près encore : $f(0,01;1,5\times 10^{-4})=-2,5\times 10^{-9}<0$, à $10^{-2}$ de l'origine — conforme à la formule $-\frac{x^4}{4}$ ✓. Aussi près qu'on veut, $f$ descend sous $0$.

Ce que l'exercice installe : en deux variables, un voisinage n'est pas une réunion de droites. C'est ce constat qui motive, en deuxième année, l'introduction du critère du second ordre (matrice hessienne) — le seul outil qui décide sans avoir à deviner le bon chemin.