Dérivée selon un vecteur

Application directe du cours · niveau 2 · mathématiques MPSI, chapitre 20 — Fonctions de deux variables · B. Dérivées partielles, plan tangent, gradient

Énoncé

Pour $f (x, y) = x y$ au point $a = (2, 1)$ : dérivées selon $u = \frac{1}{2} (1, 1)$ et $v = \frac{1}{2} (1, - 1)$ . Interpréter.

Corrigé

$\nabla f (2, 1) = (1, 2)$ : $D_{u} f (a) = \frac{3}{2}, D_{v} f (a) = - \frac{1}{2} .$ Selon $u$ , $f$ croît ; selon $v$ , elle décroît. Le maximum sur toutes les directions est $∥\nabla f (a) ∥ = 5$ , dans la direction du gradient.

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