mathématiques MPSI · Chapitre 20 · Exercice classique

Soit f(x, y) = √(x² + y²) (le cône). Montrer que f est continue sur ℝ²…

Fonctions de deux variables · B. Dérivées partielles, plan tangent, gradient · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soit $f (x, y) = x^{2} + y^{2}$ (le cône). Montrer que $f$ est continue sur $R^{2}$ tout entier, mais que ses dérivées partielles n'existent pas en $(0, 0)$ .

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Élève

Pour les dérivées partielles en $(0, 0)$ , je pensais dire : la racine carrée n'est pas dérivable en $0$ , donc $f$ , qui est sa composée avec $(x, y) \mapsto x^{2} + y^{2}$ , ne l'est pas non plus. Est-ce que ça suffit ?

Non, cet argument ne prouve rien : une composée peut être dérivable alors qu'une des fonctions composées ne l'est pas, par exemple $x \mapsto x^{4}$ en $0$ . Pour une dérivée partielle en $(0, 0)$ , à quelle définition faut-il revenir ?

Élève

La dérivée partielle par rapport à $x$ en $(0, 0)$ , c'est la dérivée en $0$ de la fonction d'une variable obtenue en fixant $y = 0$ , si elle existe. Je dois donc étudier un taux d'accroissement.

Oui. Écris ce taux d'accroissement en $0$ : comment se comporte-t-il quand la variable tend vers $0$ par valeurs positives, puis par valeurs négatives, et que pourras-tu en déduire pour l'autre variable ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. Le corrigé de cet exercice n'est pas publié : à toi de continuer.

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