Soit f(x, y) = √(x² + y²) (le cône). Montrer que f est continue sur ℝ²…

Stratégie : la continuité par l'inégalité triangulaire, la non-dérivabilité par le taux d'accroissement. Deux calculs d'une ligne, mais qui se contredisent en apparence — c'est tout l'intérêt.

1) $f$ est continue sur ${\mathbb{R}}^2$. On reconnaît $f(x,y)=\Vert (x,y)\Vert$, la norme euclidienne. L'inégalité triangulaire donne, pour tous $u,v\in {\mathbb{R}}^2$, $$|\Vert u\Vert -\Vert v\Vert |⩽\Vert u-v\Vert$$ donc $|f(u)-f(v)|⩽\Vert u-v\Vert$ : $f$ est $1$-lipschitzienne, donc continue en tout point. En particulier en $(0,0)$ : $$|f(x,y)-f(0,0)|=\sqrt{x^2+y^2}\underset{\Vert (x,y)\Vert \to 0}{\to }0$$

2) Aucune dérivée partielle en $(0,0)$. La fonction partielle en $x$ est $$x⟼f(x,0)=\sqrt{x^2}=|x|$$ Son taux d'accroissement en $0$ vaut $$\frac{f(t,0)-f(0,0)}{t}=\frac{|t|}{t}=\{\begin{array}{ll}+1& \text{si }t>0\\ -1& \text{si }t<0\end{array}$$ Les limites à droite et à gauche valent $+1$ et $-1$ : le taux n'a pas de limite en $0$, donc $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)$ n'existe pas. Par symétrie des rôles de $x$ et $y$, $\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)$ n'existe pas non plus.

⚠️ Le point délicat, et c'est exactement l'inverse du n° 1.

• n° 1 : les fonctions partielles sont continues (et même dérivables), et pourtant $f$ n'est pas continue ;
• n° 5 : $f$ est continue partout, et pourtant aucune dérivée partielle n'existe en $(0,0)$.

En deux variables, « continue » et « admet des dérivées partielles » sont donc deux propriétés indépendantes : aucune n'entraîne l'autre. C'est ce désordre que la classe ${\mathcal{C}}^1$ (dérivées partielles existantes et continues) vient discipliner, et c'est pourquoi tout le chapitre travaille sous cette hypothèse.

3) La lecture géométrique. La surface $z=\sqrt{x^2+y^2}$ est un cône de révolution de sommet l'origine, d'angle au sommet fixé (la pente radiale vaut $1$ dans toutes les directions). En sa pointe, il n'existe aucun plan tangent : tout plan passant par le sommet coupe le cône au lieu de l'épouser. Hors de l'origine, en revanche, $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ avec $$\nabla f(x,y)=\frac{(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}}$$ vecteur unitaire radial : la pente est $1$, et la plus forte pente pointe vers l'extérieur — on retrouve le n° 3.

Contrôle numérique. $\frac{f(10^{-6},0)-f(0,0)}{10^{-6}}=1$ et $\frac{f(-10^{-6},0)-f(0,0)}{-10^{-6}}=-1$ : les deux taux restent à distance $2$ l'un de l'autre, aussi petit que soit le pas ✓. Rien ne converge.

Ce que l'exercice installe : un contre-exemple à garder en tête chaque fois qu'on est tenté de dériver sans vérifier. Le cône est à deux variables ce que $|x|$ est à une seule — et c'est d'ailleurs littéralement sa restriction à un axe.