Gradient et ligne de niveau

Exercice classique · niveau 2 · mathématiques MPSI, chapitre 20 — Fonctions de deux variables · B. Dérivées partielles, plan tangent, gradient

Énoncé

Vérifier sur $f (x, y) = x^{2} + y^{2}$ et le point $(3, 4)$ que le gradient est orthogonal à la ligne de niveau.

Corrigé

La ligne de niveau est le cercle $x^{2} + y^{2} = 25$ ; en $(3, 4)$ , le vecteur tangent est $(- 4, 3)$ et $\nabla f (3, 4) = (6, 8)$ : $⟨(6, 8), (- 4, 3)⟩ = - 24 + 24 = 0. ✓$ Le gradient est radial : la plus forte montée du « bol », perpendiculaire aux cercles de niveau.

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