Tangente à une ligne de niveau : les équations dédoublées

La stratégie. Le théorème du cours dit que le gradient est orthogonal aux lignes de niveau : il est donc normal à la courbe, et une droite dont on connaît un point et un vecteur normal a une équation immédiate. On n'a jamais besoin de résoudre l'équation de la courbe.

1) L'équation de la tangente. L'arc est tracé dans la ligne de niveau : $F(\gamma (t))=c$ pour tout $t$. En dérivant cette constante par la règle de la chaîne, $0=⟨\nabla F(\gamma (t)),{\gamma }^{\prime }(t)⟩$, et en $t_0$ : $⟨\nabla F(m_0),{\gamma }^{\prime }(t_0)⟩=0$. Posons $n=\nabla F(m_0)\ne (0,0)$. L'ensemble $\Delta =\{m\in {\mathbb{R}}^2:⟨n,m-m_0⟩=0\}$ est une droite passant par $m_0$ : c'est l'ensemble des solutions d'une équation linéaire non triviale en les coordonnées de $m-m_0$, un noyau de dimension $1$ translaté en $m_0$. La tangente $T=\{m_0+s{\gamma }^{\prime }(t_0):s\in \mathbb{R}\}$ est incluse dans $\Delta$, puisque $⟨n,s{\gamma }^{\prime }(t_0)⟩=s\cdot 0=0$. Deux droites dont l'une contient l'autre sont égales : $T=\Delta$, et la tangente a pour équation $⟨\nabla F(m_0),m-m_0⟩=0$. Le gradient est un vecteur normal à la courbe.

2) L'ellipse. $F(a\cos t,b\sin t)={\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t=1$ : l'arc est tracé dans $\{F=1\}$, et il la parcourt tout entière — si $(x_0,y_0)$ vérifie $F=1$, le point $\left(\frac{x_0}{a},\frac{y_0}{b}\right)$ est sur le cercle unité, donc de la forme $(\cos t_0,\sin t_0)$. Le vecteur vitesse ${\gamma }^{\prime }(t)=(-a\sin t,b\cos t)$ n'est jamais nul ($\sin t$ et $\cos t$ ne s'annulent pas simultanément). Le gradient $\nabla F(x,y)=\left(\frac{2x}{a^2},\frac{2y}{b^2}\right)$ n'est jamais nul sur l'ellipse (il ne s'annule qu'à l'origine, qui n'y est pas). Vérification de l'orthogonalité, pour la beauté du geste : $$⟨\nabla F(\gamma (t)),{\gamma }^{\prime }(t)⟩=\frac{2a\cos t}{a^2}(-a\sin t)+\frac{2b\sin t}{b^2}(b\cos t)=-2\cos t\sin t+2\sin t\cos t=0.$$ La tangente en $(x_0,y_0)$, d'après le 1) : $$\frac{2x_0}{a^2}(x-x_0)+\frac{2y_0}{b^2}(y-y_0)=0⟺\frac{x_{0}x}{a^2}+\frac{y_{0}y}{b^2}=\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1.$$

3) L'hyperbole. Avec $\gamma (t)=(a\mathrm{ch}t,b\mathrm{sh}t)$ — cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique — on a $F(\gamma (t))={\mathrm{ch}}^{2}t-{\mathrm{sh}}^{2}t=1$, la seule formule hyperbolique exigible du programme, et $a\mathrm{ch}t>0$ : l'arc est tracé dans la branche $x>0$. Il la parcourt entièrement : pour $(x_0,y_0)$ sur cette branche, le sinus hyperbolique étant une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$, il existe un unique $t_0$ tel que $\mathrm{sh}{t}_0=\frac{y_0}{b}$, puis $\frac{x_0^2}{a^2}=1+{\mathrm{sh}}^2{t}_0={\mathrm{ch}}^2{t}_0$ et $x_0>0$ donnent $x_0=a\mathrm{ch}{t}_0$. Le vecteur vitesse ${\gamma }^{\prime }(t)=(a\mathrm{sh}t,b\mathrm{ch}t)$ n'est jamais nul, car $\mathrm{ch}t\ge 1$. Le gradient $\nabla F=\left(\frac{2x}{a^2},-\frac{2y}{b^2}\right)$ n'est pas nul sur l'hyperbole. Orthogonalité : $$\frac{2a\mathrm{ch}t}{a^2}(a\mathrm{sh}t)-\frac{2b\mathrm{sh}t}{b^2}(b\mathrm{ch}t)=2\mathrm{ch}t\mathrm{sh}t-2\mathrm{sh}t\mathrm{ch}t=0.$$ Tangente en $(x_0,y_0)$ : $\frac{2x_0}{a^2}(x-x_0)-\frac{2y_0}{b^2}(y-y_0)=0$, soit $\frac{x_{0}x}{a^2}-\frac{y_{0}y}{b^2}=\frac{x_0^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{b^2}=1$.

4) La parabole. Posons $F(x,y)=y^2-2px$ ; la parabole est la ligne de niveau $\{F=0\}$. Avec $\gamma (s)=\left(\frac{s^2}{2p},s\right)$ : $F(\gamma (s))=s^2-2p\cdot \frac{s^2}{2p}=0$, et tout point $(x_0,y_0)$ de la parabole est $\gamma (y_0)$. Le vecteur vitesse ${\gamma }^{\prime }(s)=\left(\frac{s}{p},1\right)$ n'est jamais nul, et $\nabla F=(-2p,2y)$ non plus, puisque $p>0$. Orthogonalité : $-2p\cdot \frac{s}{p}+2s\cdot 1=0$. Tangente en $(x_0,y_0)$ : $$-2p(x-x_0)+2y_0(y-y_0)=0⟺y_{0}y=p(x-x_0)+y_0^2=p(x-x_0)+2p{x}_0=p(x+x_0),$$ en utilisant $y_0^2=2p{x}_0$. Intersection avec l'axe des abscisses : pour $y=0$, $p(x+x_0)=0$, donc $x=-x_0$. La tangente en $(x_0,y_0)$ coupe l'axe au point $(-x_0,0)$, symétrique de la projection $(x_0,0)$ par rapport au sommet — c'est la construction classique de la tangente à une parabole à la règle seule.

5) La règle du dédoublement, et pourquoi elle marche. Soit $F(x,y)=A{x}^2+B{y}^2+Cxy+Dx+Ey+G$ et une courbe $\{F=c\}$ ; soit $(x_0,y_0)$ un point de la courbe où $\nabla F\ne (0,0)$. Le gradient est $\nabla F(x_0,y_0)=(2A{x}_0+C{y}_0+D,2B{y}_0+C{x}_0+E)$, et la tangente s'écrit $$(2A{x}_0+C{y}_0+D)(x-x_0)+(2B{y}_0+C{x}_0+E)(y-y_0)=0.$$ Développons : le membre de gauche vaut $2A{x}_{0}x+2B{y}_{0}y+C(x_{0}y+x{y}_0)+Dx+Ey-[2A{x}_0^2+2B{y}_0^2+2C{x}_0{y}_0+D{x}_0+E{y}_0]$. Or $(x_0,y_0)$ est sur la courbe : $A{x}_0^2+B{y}_0^2+C{x}_0{y}_0=c-G-D{x}_0-E{y}_0$, donc le crochet vaut $2(c-G)-D{x}_0-E{y}_0$. L'équation devient $$A{x}_{0}x+B{y}_{0}y+C\frac{x_{0}y+x{y}_0}{2}+D\frac{x+x_0}{2}+E\frac{y+y_0}{2}+G=c.$$ C'est exactement l'équation de la courbe dans laquelle on a remplacé $x^2$ par $x_{0}x$, $y^2$ par $y_{0}y$, $xy$ par $\frac{x_{0}y+x{y}_0}{2}$, $x$ par $\frac{x+x_0}{2}$ et $y$ par $\frac{y+y_0}{2}$ : la règle du dédoublement. Elle n'est pas un truc : c'est l'équation du gradient, réécrite en utilisant que le point est sur la courbe. Les trois cas précédents en sont des instances — pour la parabole, $y^2-2px=0$ devient $y_{0}y-2p\frac{x+x_0}{2}=0$.

La normale à l'ellipse. La normale en $(x_0,y_0)$ est la droite passant par ce point et dirigée par $\nabla F(x_0,y_0)=\left(\frac{2x_0}{a^2},\frac{2y_0}{b^2}\right)$. Elle passe par l'origine si et seulement si le vecteur $(x_0,y_0)$ est colinéaire au gradient, c'est-à-dire si et seulement si le déterminant $x_0\cdot \frac{2y_0}{b^2}-y_0\cdot \frac{2x_0}{a^2}=2x_0{y}_0\left(\frac{1}{b^2}-\frac{1}{a^2}\right)$ est nul : si et seulement si $x_0{y}_0=0$ ou $a=b$. Sur une vraie ellipse, la normale ne passe par le centre qu'aux quatre sommets ; sur un cercle, toujours — c'est ce qui distingue une ellipse d'un cercle, et ce qui fait zigzaguer la descente de gradient de l'exercice 2.

Le point délicat. L'hypothèse $\nabla F(m_0)\ne (0,0)$ est indispensable : au point où le gradient s'annule, l'équation $⟨0,m-m_0⟩=0$ est vérifiée par tout le plan et ne définit aucune droite. Et il fallait vérifier, pour chaque courbe, que le paramétrage la parcourt entièrement, sans quoi la formule ne serait établie qu'en certains points.

Ce que l'exercice installe. Le gradient est la normale d'une courbe implicite : la tangente se lit sans résoudre l'équation, et la règle du dédoublement apprise au lycée pour les coniques en est la conséquence. C'est le germe du théorème des fonctions implicites de seconde année, qui dira qu'au voisinage d'un point où le gradient ne s'annule pas, la ligne de niveau est une vraie courbe, dont on connaît la tangente sans connaître la courbe.