mathématiques MPSI · Chapitre 20 · Application directe du cours

Optimisation concrète

Fonctions de deux variables · D. Extremums · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Une boîte sans couvercle doit avoir un volume de 32 litres. Quelles dimensions minimisent la surface de matériau ?

Corrigé

Avec $h = \frac{32}{x y}$ : $S (x, y) = x y + \frac{64}{y} + \frac{64}{x}$ sur l'ouvert $x, y > 0$ . $\nabla S = 0$ donne $x^{3} = 64$ : $x = y = 4$ , $h = 2$ , seul point critique, et $S \to + \infty$ au bord : $minimum global S (4, 4) = 48 dm^{2}, bo ı ˆ te 4 \times 4 \times 2$ — base carrée, hauteur moitié. (Le quotidien de l'ingénieur : contrainte, substitution, point critique.)

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