mathématiques MPSI · Chapitre 20 · Exercice de TD

Fonctions homogènes et relation d'Euler

Fonctions de deux variables · C. Règle de la chaîne · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soit $α \in R$ et $f$ de classe $C^{1}$ sur l'ouvert $U = R^{2} ∖ {(0, 0)}$ . On dit que $f$ est homogène de degré $α$ si $\forall (x, y) \in U, \forall t > 0, f (t x, t y) = t^{α} f (x, y) .$

a) Montrer que si $f$ est homogène de degré $α$ , elle vérifie la relation d'Euler : pour tout $(x, y) \in U$ , $x \frac{\partial f}{\partial x} (x, y) + y \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) = α f (x, y) .$

b) Réciproquement, on suppose que $f$ vérifie la relation d'Euler sur $U$ . Pour $(x, y) \in U$ fixé, montrer que $φ : t \mapsto t^{- α} f (t x, t y)$ est constante sur $] 0, + \infty [$ , et conclure que $f$ est homogène de degré $α$ .

c) Montrer que si $f$ est homogène de degré $α$ , ses dérivées partielles sont homogènes de degré $α - 1$ .

d) Vérifier sur $f (x, y) = x^{2} + y^{2}$ et sur $f (x, y) = x^{3} - 3 x y^{2}$ .

Corrigé de la question 1

La stratégie. Dériver une identité par rapport à un paramètre, puis spécialiser sa valeur. La variable de dérivation est le facteur d'homothétie $t$ , pas une coordonnée du plan : ce déplacement du point de vue est tout l'exercice. La réciproque utilise le théorème du chapitre sur la dérivabilité : une fonction de dérivée nulle sur un intervalle est constante.

a) De l'homogénéité à Euler. Fixons $(x, y) \in U$ et posons, pour $t > 0$ , $ψ (t) = f (t x, t y) = f (γ (t))$ avec $γ (t) = (t x, t y)$ . L'arc $γ$ est de classe $C^{1}$ , tracé dans $U$ (car $t > 0$ et $(x, y) \neq = (0, 0)$ ), de vecteur vitesse $γ^{'} (t) = (x, y)$ . La règle de la chaîne donne $ψ^{'} (t) = ⟨ \nabla f (t x, t y), (x, y) ⟩ = x \frac{\partial f}{\partial x} (t x, t y) + y \frac{\partial f}{\partial y} (t x, t y) .$ D'autre part, l'hypothèse d'homogénéité s'écrit $ψ (t) = t^{α} f (x, y)$ , où $f (x, y)$ est une constante puisque $(x, y)$ est fixé ; donc $ψ^{'} (t) = α t^{α - 1} f (x, y)$ . Les deux expressions de $ψ^{'} (1)$ coïncident, et $γ (1) = (x, y)$ : $x \frac{\partial f}{\partial x} (x, y) + y \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) = α f (x, y) .$ Lecture par le gradient : $⟨ \nabla f (x, y), (x, y)⟩ = α f (x, y)$ — la dérivée de $f$ dans la direction radiale, pondérée par la distance à l'origine, redonne $α f$ .

Question 2 : comment l'IA t'aide

Élève

En dérivant $φ$ , il apparaît $x \frac{\partial f}{\partial x} (t x, t y) + y \frac{\partial f}{\partial y} (t x, t y)$ . Mais la relation d'Euler porte sur les dérivées partielles au point $(x, y)$ , pas en $(t x, t y)$ : je ne vois pas comment l'utiliser.

La relation d'Euler est supposée vraie en tout point de $U$ , pas seulement au point $(x, y)$ que tu as fixé. En quel point l'appliquer, et quels coefficients figurent alors devant les dérivées partielles ?

Élève

Au point $(t x, t y)$ , qui est dans $U$ puisque $t > 0$ : les coefficients sont $t x$ et $t y$ . En divisant par $t$ , j'obtiens une expression de mon crochet en fonction de $f (t x, t y)$ .

Reporte ce remplacement dans $φ^{'} (t)$ : que deviennent les deux termes ? Pour en conclure que $φ$ est constante, quelle propriété de $] 0, + \infty [$ utilises-tu, et quelle valeur de $t$ te donne la constante ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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