Estimer par approximation linéaire la valeur de…

Stratégie : le plan tangent comme instrument de calcul. L'approximation linéaire, c'est le développement limité à l'ordre $1$ — on remplace la surface par son plan tangent au voisinage d'un point où tout est simple.

1) Le bon point de base. Posons $f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$, de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2\setminus \{(0,0)\}$. On choisit le point $(3,4)$ — le seul voisin où le calcul est exact : $$f(3,4)=\sqrt{9+16}=5$$

2) Le gradient. Pour $(x,y)\ne (0,0)$, $$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\text{donc}\nabla f(3,4)=\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)=(0,6;0,8)$$ (ce gradient est unitaire, ce qui est normal : $f$ est la norme, qui croît de $1$ par unité de longueur parcourue radialement).

3) Le développement limité à l'ordre 1. $$f(3+h,4+k)=f(3,4)+\frac{\partial f}{\partial x}(3,4)h+\frac{\partial f}{\partial y}(3,4)k+o\left(\sqrt{h^2+k^2}\right)$$ Ici $3,02=3+h$ avec $h=+0,02$, et $3,97=4+k$ avec $k=-0,03$. D'où $$\sqrt{(3,02{)}^2+(3,97{)}^2}\approx 5+0,6\times 0,02-0,8\times 0,03=5+0,012-0,024=\boxed{4,988}$$

⚠️ Le point délicat : le SIGNE de $k$. $3,97$ est en dessous de $4$, donc $k$ est négatif. C'est là que se produit la moitié des erreurs sur ce type de calcul — et le résultat est très sensible : avec $k=+0,03$ on trouverait $5,036$, faux de $5\times 10^{-2}$.

⚠️ Second point : on choisit le point de base pour que $f$ y soit calculable exactement, et aussi proche que possible du point visé. $(3,4)$ s'impose ici à cause du triangle $3$-$4$-$5$.

Contrôle. La valeur exacte est $$\sqrt{(3,02{)}^2+(3,97{)}^2}=\sqrt{9,1204+15,7609}=\sqrt{24,8813}=4,9881159$$ L'erreur commise vaut $4,9881159-4,988=1,16\times 10^{-4}$, soit $2,3\times 10^{-5}$ en valeur relative ✓. Elle est bien d'ordre $h^2+k^2\approx 1,3\times 10^{-3}$ comme le prévoit la théorie — l'approximation linéaire tue un ordre de grandeur.

Ce que l'exercice installe : le plan tangent n'est pas qu'un objet de géométrie, c'est la méthode de calcul approché en plusieurs variables. C'est aussi elle qui, en physique, produit les formules de propagation des incertitudes : $\Delta f\approx |{\partial }_{x}f|\Delta x+|{\partial }_{y}f|\Delta y$.