Déterminer le minimum et le maximum de |z - 4 + 3i| lorsque z parcourt…

Stratégie : lire l'énoncé comme une figure. $|z-\omega |$ est la distance du point d'affixe $z$ au point d'affixe $\omega$. La question devient donc purement géométrique, et la réponse se voit avant de se calculer.

Traduction. Posons $\omega =4-3i$, et notons $A$ le point d'affixe $\omega$, $\Gamma$ le cercle de centre $O$ et de rayon $2$. La quantité $|z-4+3i|=|z-\omega |$ est la distance $AM$, où $M$ décrit $\Gamma$.

La donnée décisive. La distance du centre au point $A$ vaut $$|\omega |=|4-3i|=\sqrt{16+9}=5$$ Comme $5>2$, le point $A$ est extérieur au cercle.

Le résultat géométrique. Pour un point $A$ extérieur à un cercle de centre $O$ et de rayon $r$, la distance $AM$ quand $M$ parcourt le cercle est minimale au point d'intersection de $\Gamma$ avec le segment $[OA]$, et maximale au point diamétralement opposé : $$\min AM=|OA|-r,\max AM=|OA|+r$$

$$\boxed{\min =5-2=3,\max =5+2=7}$$

La preuve, par l'inégalité triangulaire. Elle rend l'argument géométrique rigoureux. Pour $|z|=2$ : $$|z-\omega |⩾||\omega |-|z||=|5-2|=3\text{et}|z-\omega |⩽|z|+|\omega |=2+5=7$$ Reste à voir que ces deux bornes sont atteintes, sans quoi ce ne seraient qu'un minorant et un majorant :

• pour le minimum, prendre $z=\frac{2}{5}\omega =\frac{8-6i}{5}$, qui vérifie bien $|z|=2$ et est aligné avec $O$ et $A$, du même côté : alors $|z-\omega |=\left|1-\frac{2}{5}\right||\omega |=\frac{3}{5}\cdot 5=3$ ;
• pour le maximum, prendre $z=-\frac{2}{5}\omega$, aligné mais de l'autre côté : $|z-\omega |=\frac{7}{5}\cdot 5=7$.

Les bornes sont donc atteintes : ce sont bien un minimum et un maximum. $■$

⚠️ Le point de méthode. Une inégalité ne donne un minimum que si l'on exhibe le cas d'égalité. Ici, le cas d'égalité de l'inégalité triangulaire, c'est l'alignement — et c'est exactement ce que la figure montrait.