L'identité du parallélogramme, et la polarisation

La stratégie : revenir à $|u{|}^2=u\bar{u}$. C'est l'outil qui transforme toute question de module — objet pénible, avec sa racine carrée — en un calcul polynomial sur $u$ et $\bar{u}$, et il suffit ici. Ce qu'on a le droit d'utiliser : la compatibilité de la conjugaison avec la somme et le produit, et $u+\bar{u}=2\mathrm{Re}(u)$.

a) Le calcul. Pour $z,z^{\prime }\in \mathbb{C}$, développons le premier carré : $$|z+z^{\prime }{|}^2=(z+z^{\prime })\overline{(z+z^{\prime })}=(z+z^{\prime })\left(\bar{z}+\overline{z^{\prime }}\right)=z\bar{z}+z\overline{z^{\prime }}+z^{\prime }\bar{z}+z^{\prime }\overline{z^{\prime }}.$$ On reconnaît $z\bar{z}=|z{|}^2$, $z^{\prime }\overline{z^{\prime }}=|z^{\prime }{|}^2$, et les deux termes croisés sont conjugués l'un de l'autre : $\overline{z\overline{z^{\prime }}}=\bar{z}{z}^{\prime }$. Leur somme vaut donc $2\mathrm{Re}\left(z\overline{z^{\prime }}\right)$, et $$|z+z^{\prime }{|}^2=|z{|}^2+|z^{\prime }{|}^2+2\mathrm{Re}\left(z\overline{z^{\prime }}\right).$$ Le même calcul avec $-z^{\prime }$ à la place de $z^{\prime }$ — ce qui ne change ni $|z^{\prime }{|}^2$ ni le raisonnement, et change le signe du terme croisé — donne $$|z-z^{\prime }{|}^2=|z{|}^2+|z^{\prime }{|}^2-2\mathrm{Re}\left(z\overline{z^{\prime }}\right).$$ En additionnant, les termes croisés se détruisent : $$|z+z^{\prime }{|}^2+|z-z^{\prime }{|}^2=2\left(|z{|}^2+|z^{\prime }{|}^2\right).$$ Contrôle. $z=2+3i$, $z^{\prime }=1-i$ : $|3+2i{|}^2+|1+4i{|}^2=13+17=30$, et $2(13+2)=30$.

b) L'interprétation. Construisons le parallélogramme de sommets $O$, $A$ d'affixe $z$, $C$ d'affixe $z+z^{\prime }$ et $B$ d'affixe $z^{\prime }$. Alors $|z|$ et $|z^{\prime }|$ sont les longueurs des côtés $OA$ et $OB$ (et donc des côtés opposés, égaux) ; $|z+z^{\prime }|$ est la longueur de la diagonale $OC$ ; $|z-z^{\prime }|$ est la longueur de l'autre diagonale $BA$. L'identité se lit : dans tout parallélogramme, la somme des carrés des deux diagonales égale la somme des carrés des quatre côtés. Si le parallélogramme est un rectangle, les deux diagonales ont la même longueur $d$, et l'identité redonne $2d^2=2(|z{|}^2+|z^{\prime }{|}^2)$ : le théorème de Pythagore.

c) La polarisation. En soustrayant cette fois les deux développements du a), ce sont $|z{|}^2$ et $|z^{\prime }{|}^2$ qui se détruisent : $$|z+z^{\prime }{|}^2-|z-z^{\prime }{|}^2=4\mathrm{Re}\left(z\overline{z^{\prime }}\right).$$ Calculons ce terme croisé en coordonnées : $z\overline{z^{\prime }}=(x+iy)(x^{\prime }-i{y}^{\prime })=x{x}^{\prime }+y{y}^{\prime }+i(y{x}^{\prime }-x{y}^{\prime })$, donc $$\mathrm{Re}\left(z\overline{z^{\prime }}\right)=x{x}^{\prime }+y{y}^{\prime },$$ qui est exactement le produit scalaire des vecteurs de coordonnées $(x,y)$ et $(x^{\prime },y^{\prime })$. Ainsi $$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\frac{|z+z^{\prime }{|}^2-|z-z^{\prime }{|}^2}{4}:$$ le produit scalaire se retrouve à partir des seules longueurs — c'est l'identité de polarisation. On lit aussi sur $z\overline{z^{\prime }}$ que $\mathrm{Re}\left(z\overline{z^{\prime }}\right)=|z||z^{\prime }|\cos \theta$ où $\theta$ est un argument de $z\overline{z^{\prime }}$, c'est-à-dire l'angle de $z^{\prime }$ vers $z$ : c'est la formule du produit scalaire par l'angle.

L'orthogonalité. Les vecteurs sont orthogonaux si et seulement si $\mathrm{Re}\left(z\overline{z^{\prime }}\right)=0$, c'est-à-dire si et seulement si $z\overline{z^{\prime }}$ est imaginaire pur. Pour $z^{\prime }\ne 0$, comme $z\overline{z^{\prime }}=\frac{z}{z^{\prime }}|z^{\prime }{|}^2$, cela équivaut à : $\frac{z}{z^{\prime }}$ est imaginaire pur. On retrouve le critère du cours pour l'orthogonalité, ici démontré à partir du produit scalaire.

Le point délicat. Rien n'est difficile dans le calcul ; ce qui est à retenir, c'est qu'un carré de module se développe comme un carré ordinaire, avec un « double produit » qui est $2\mathrm{Re}(z\overline{z^{\prime }})$ et non $2z{z}^{\prime }$. Toute la géométrie euclidienne du plan tient dans ce double produit.

Ce que l'exercice installe. Le passage $|u{|}^2=u\bar{u}$ est le réflexe du chapitre. On l'emploiera pour l'inégalité triangulaire, pour les lieux géométriques, et dix fois dans le problème final. Et l'identité du parallélogramme reviendra au chapitre des espaces préhilbertiens comme la propriété qui caractérise, parmi toutes les normes, celles qui viennent d'un produit scalaire — la polarisation en étant la réciproque : les longueurs déterminent les angles.