Le triangle équilatéral en une égalité

Ce qu'on a le droit d'utiliser. L'interprétation de $\frac{c-a}{b-a}$ : son module est $\frac{AC}{AB}$, son argument l'angle orienté de $\overrightarrow{AB}$ vers $\overrightarrow{AC}$ ; et les propriétés de $j$ : $j^3=1$, $1+j+j^2=0$, $\bar{j}=j^2$. La stratégie du a) est de traduire la rotation en égalité, celle du b) de multiplier les deux conditions, celle du c) de conjuguer une relation entre nombres de module $1$.

a) La rotation d'angle $\frac{\pi }{3}$. Le triangle $ABC$ est équilatéral direct si et seulement si $AC=AB$ et l'angle orienté $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$ vaut $\frac{\pi }{3}$, c'est-à-dire si et seulement si $\frac{c-a}{b-a}$ a pour module $1$ et pour argument $\frac{\pi }{3}$ : $$c-a=e^{i\pi /3}(b-a).$$ Exprimons $e^{i\pi /3}$ avec $j$ : $-j^2=e^{i\pi }{e}^{4i\pi /3}=e^{7i\pi /3}=e^{i\pi /3}$. La condition s'écrit donc $c-a=-j^2(b-a)$, soit $c-a+j^{2}b-j^{2}a=0$, soit $$-(1+j^2)a+j^{2}b+c=0.$$ Or $1+j^2=-j$, donc la condition est $ja+j^{2}b+c=0$. Multiplions par $j^2$, non nul, en utilisant $j^3=1$ et $j^4=j$ : $a+jb+j^{2}c=0$. Toutes les transformations sont des équivalences (on remonte en multipliant par $j$) : $ABC$ est équilatéral direct si et seulement si $a+jb+j^{2}c=0$.

Le cas indirect. $ABC$ est équilatéral indirect si et seulement si $ACB$ est équilatéral direct, c'est-à-dire, en échangeant les rôles de $b$ et $c$ dans ce qui précède, si et seulement si $a+jc+j^{2}b=0$, c'est-à-dire $a+j^{2}b+jc=0$.

b) La condition symétrique. Développons le produit des deux conditions, en réduisant les puissances de $j$ par $j^3=1$ : $$(a+jb+j^{2}c)(a+j^{2}b+jc)=a^2+j^{2}ab+jac+jab+j^3{b}^2+j^{2}bc+j^{2}ac+j^{4}bc+j^3{c}^2.$$ Regroupons : $a^2+b^2+c^2$ pour les carrés (car $j^3=1$) ; $ab(j+j^2)$, $ac(j+j^2)$ et $bc(j^2+j^4)=bc(j^2+j)$ pour les produits. Comme $j+j^2=-1$ : $$(a+jb+j^{2}c)(a+j^{2}b+jc)=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca.$$ Donc $a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca$ si et seulement si ce produit est nul, si et seulement si l'un des deux facteurs est nul (un produit de complexes est nul si et seulement si l'un des facteurs l'est), si et seulement si, par le a), $ABC$ est équilatéral direct ou indirect. Le triangle est équilatéral si et seulement si $a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca$.

Pourquoi cette forme est meilleure. La condition du a) dépend de l'ordre des sommets et de l'orientation ; celle du b) est symétrique en $a,b,c$ : elle ne change ni si l'on permute les sommets, ni si l'on change l'orientation du plan. On peut la réécrire $(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2=0$, puisque ce développement vaut $2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)$ : les trois côtés, vus comme complexes, ont des carrés de somme nulle.

c) Trois points du cercle unité de somme nulle. Conjuguons la relation $a+b+c=0$ : $\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}=0$. Comme $|a|=1$, $a\bar{a}=1$ donne $\bar{a}=\frac{1}{a}$, et de même pour $b$ et $c$ : $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0,\text{soit, en reˊduisant au deˊnominateur }abc\ne 0:\frac{bc+ca+ab}{abc}=0,$$ d'où $ab+bc+ca=0$. Ensuite, $a^2+b^2+c^2=(a+b+c{)}^2-2(ab+bc+ca)=0-0=0=ab+bc+ca$ : la condition du b) est satisfaite.

Il reste à vérifier que les points sont distincts, ce que le b) suppose. Si l'on avait $a=b$, alors $c=-2a$, donc $|c|=2|a|=2\ne 1$ : impossible. De même pour les autres paires. Les trois points sont donc deux à deux distincts, et $ABC$ est équilatéral, inscrit dans le cercle unité puisque ses sommets y sont.

Réciproquement, si $ABC$ est équilatéral inscrit dans le cercle unité, son centre de gravité est le centre du cercle, donc $a+b+c=0$ : la condition « somme nulle » caractérise, parmi les triangles inscrits, les équilatéraux. C'est le cas $n=3$ du fait que les racines $n$-ièmes de l'unité sont de somme nulle.

Le point délicat. Dans le b), l'équivalence « produit nul si et seulement si un facteur nul » est ce qui recolle les deux orientations en une seule condition ; dans le c), c'est la conjugaison qui fait le travail : sur le cercle unité, $\bar{z}=\frac{1}{z}$, et une relation additive entre $a,b,c$ se transforme en relation entre leurs inverses. Ce réflexe — conjuguer une relation entre nombres de module $1$ — est celui de tout le problème qui suit.

Ce que l'exercice installe. Une propriété géométrique — être équilatéral — est devenue une égalité algébrique, d'abord orientée (avec $j$), puis symétrique (sans $j$). C'est le programme du chapitre : une rotation, c'est une multiplication par $e^{i\theta }$ ; une configuration, c'est une équation. Et la relation $a+b+c=0$ pour trois points du cercle unité reviendra au problème sous le nom $h=0$ : l'orthocentre est au centre.