Les arguments s'ajoutent : la formule de Machin

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Un argument d'un produit est la somme des arguments, modulo $2\pi$ ; un argument de $z^n$ est $n$ fois un argument de $z$ ; et la tangente est strictement croissante sur $\left]0,\frac{\pi }{2}\right[$. La stratégie est en deux temps, toujours les mêmes : un produit de complexes donne une relation entre angles modulo $2\pi$ ; un encadrement des angles lève le modulo.

Pourquoi ${\theta }_m$ est un argument de $m+i$. Le complexe $m+i$ a pour module $\sqrt{m^2+1}$, et $\frac{m+i}{\sqrt{m^2+1}}$ a une partie réelle et une partie imaginaire strictement positives : son argument principal $\theta$ est dans $\left]0,\frac{\pi }{2}\right[$, et $\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }=\frac{1/\sqrt{m^2+1}}{m/\sqrt{m^2+1}}=\frac{1}{m}$. Par injectivité de la tangente sur $\left]0,\frac{\pi }{2}\right[$, $\theta ={\theta }_m$.

a) Trois angles qui font un droit. Calculons de proche en proche : $(1+i)(2+i)=2+i+2i+i^2=1+3i$, puis $$(1+3i)(3+i)=3+i+9i+3i^2=3+10i-3=10i.$$ Donc $(1+i)(2+i)(3+i)=10i$. Un argument du produit est la somme des arguments : ${\theta }_1+{\theta }_2+{\theta }_3\equiv \arg (10i)\equiv \frac{\pi }{2}[2\pi ]$.

L'encadrement. Chaque ${\theta }_m$ est dans $\left]0,\frac{\pi }{2}\right[$, donc la somme est dans $\left]0,\frac{3\pi }{2}\right[$. Les réels congrus à $\frac{\pi }{2}$ modulo $2\pi$ sont $\frac{\pi }{2}+2k\pi$ ; pour $k=1$ on obtient $\frac{5\pi }{2}>\frac{3\pi }{2}$, pour $k=-1$ un nombre négatif : le seul dans l'intervalle est $\frac{\pi }{2}$. Donc ${\theta }_1+{\theta }_2+{\theta }_3=\frac{\pi }{2}$. Comme ${\theta }_1=\frac{\pi }{4}$ (c'est l'argument de $1+i$), on a en particulier ${\theta }_2+{\theta }_3=\frac{\pi }{4}$ : la somme des angles dont les tangentes valent $\frac{1}{2}$ et $\frac{1}{3}$ est un huitième de tour.

b) Les puissances de $5+i$. $(5+i{)}^2=25+10i+i^2=24+10i$, puis $$(5+i{)}^4=(24+10i{)}^2=576+480i+100i^2=476+480i.$$ D'autre part $(1+i)(239+i)=239+i+239i+i^2=238+240i$, et $2(238+240i)=476+480i$. L'égalité $(5+i{)}^4=2(1+i)(239+i)$ est vérifiée.

c) La formule de Machin. Prenons les arguments des deux membres. À gauche, $4{\theta }_5$ est un argument de $(5+i{)}^4$. À droite, $2$ est un réel strictement positif, d'argument $0$ ; $\frac{\pi }{4}$ est un argument de $1+i$ ; ${\theta }_{239}$ est un argument de $239+i$. Donc $$4{\theta }_5\equiv \frac{\pi }{4}+{\theta }_{239}[2\pi ],\text{c’est-aˋ-dire}4{\theta }_5-{\theta }_{239}\equiv \frac{\pi }{4}[2\pi ].$$

L'encadrement. Calculons d'abord $\tan \frac{\pi }{8}$. Avec $u=\tan \frac{\pi }{8}>0$, la formule de duplication de la tangente donne $1=\tan \frac{\pi }{4}=\frac{2u}{1-u^2}$, soit $u^2+2u-1=0$, dont la racine positive est $u=\sqrt{2}-1\approx 0,414$. Or $\tan {\theta }_5=\frac{1}{5}=0,2<\sqrt{2}-1$, et la tangente est strictement croissante sur $\left]0,\frac{\pi }{2}\right[$ : donc ${\theta }_5<\frac{\pi }{8}$, et $0<4{\theta }_5<\frac{\pi }{2}$. De même $\tan {\theta }_{239}=\frac{1}{239}<1=\tan \frac{\pi }{4}$ donne $0<{\theta }_{239}<\frac{\pi }{4}$. Par différence, $$-\frac{\pi }{4}<4{\theta }_5-{\theta }_{239}<\frac{\pi }{2}.$$ Dans cet intervalle de longueur $\frac{3\pi }{4}<2\pi$, il y a au plus un réel congru à $\frac{\pi }{4}$ modulo $2\pi$, et $\frac{\pi }{4}$ y est. Donc $$4{\theta }_5-{\theta }_{239}=\frac{\pi }{4}.$$

Contrôle indépendant, par les tangentes. $\tan (2{\theta }_5)=\frac{2\cdot \frac{1}{5}}{1-\frac{1}{25}}=\frac{2/5}{24/25}=\frac{5}{12}$, puis $\tan (4{\theta }_5)=\frac{2\cdot \frac{5}{12}}{1-\frac{25}{144}}=\frac{5/6}{119/144}=\frac{120}{119}$. Alors, par la formule de soustraction de la tangente, $$\tan \left(4{\theta }_5-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\frac{120}{119}-1}{1+\frac{120}{119}}=\frac{1/119}{239/119}=\frac{1}{239}=\tan {\theta }_{239}.$$ C'est exactement ce que dit la formule de Machin — et l'on voit au passage que $\tan (4{\theta }_5)=\frac{120}{119}$ dépasse $1$ de très peu : $4{\theta }_5$ est juste un peu plus grand que $\frac{\pi }{4}$, et ${\theta }_{239}$ est ce petit excès.

Le point délicat. L'égalité des complexes ne donne les angles que modulo $2\pi$ ; sans l'encadrement, on aurait démontré $4{\theta }_5-{\theta }_{239}=\frac{\pi }{4}+2k\pi$ pour un certain entier $k$, ce qui ne vaut rien pour calculer $\pi$. Et l'encadrement demande une vraie information sur la taille des angles — ici, la comparaison des tangentes — pas seulement leur appartenance à $\left]0,\frac{\pi }{2}\right[$, qui ne suffirait pas à localiser $4{\theta }_5$.

d) Pourquoi Machin. Les deux formules ${\theta }_1=\frac{\pi }{4}$ et $4{\theta }_5-{\theta }_{239}=\frac{\pi }{4}$ expriment $\pi$ par des angles dont on connaît la tangente. Pour en tirer des décimales, il faut savoir calculer un angle à partir de sa tangente — et cela se fait, on le verra au chapitre d'analyse asymptotique, par une formule d'approximation d'autant plus efficace que la tangente est petite : pour $\tan \theta =\frac{1}{m}$, on a $\theta \approx \frac{1}{m}-\frac{1}{3m^3}$, avec une erreur de l'ordre de $\frac{1}{5m^5}$. Avec ${\theta }_1$, la tangente vaut $1$ et l'approximation ne vaut rien ; avec ${\theta }_5$ et surtout ${\theta }_{239}$, les tangentes sont petites et chaque terme de plus apporte une ou plusieurs décimales. C'est ainsi que John Machin a calculé cent décimales de $\pi$ en 1706, avec $\pi =16{\theta }_5-4{\theta }_{239}$ — un record tenu près d'un siècle.

Ce que l'exercice installe. Une relation entre angles se démontre en deux temps : le produit des complexes donne la relation modulo $2\pi$, l'encadrement lève l'ambiguïté. C'est exactement le mécanisme des identités d'arctangentes du chapitre suivant, où l'on écrira $\mathrm{Arctan}\frac{1}{2}+\mathrm{Arctan}\frac{1}{3}=\frac{\pi }{4}$ ; et c'est la raison profonde pour laquelle « les arguments s'ajoutent » : multiplier par $e^{i\theta }$, c'est tourner de $\theta$.