Les polynômes de Tchebychev

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La formule de Moivre, $(\cos t+i\sin t{)}^n=\cos (nt)+i\sin (nt)$ ; le binôme dans $\mathbb{C}$ ; ${\cos }^2+{\sin }^2=1$ ; et, pour le b), la transformation de produit en somme $\cos a\cos b=\frac{1}{2}[\cos (a-b)+\cos (a+b)]$. La stratégie du a) est d'identifier la partie réelle dans le développement de Moivre ; celle du b), de construire par récurrence, puis de vérifier que la construction fait ce qu'on veut.

a) Moivre et le binôme. Développons le membre de gauche de Moivre par la formule du binôme : $$\cos (nt)+i\sin (nt)=(\cos t+i\sin t{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}){\cos }^{n-k}t(i\sin t{)}^k=\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)i^k{\cos }^{n-k}t{\sin }^{k}t.$$ Les puissances de $i$ tournent : $i^k$ vaut $1,i,-1,-i$ selon que $k\equiv 0,1,2,3[4]$. Elle est réelle exactement quand $k$ est pair, $k=2p$, et vaut alors $(-1{)}^p$. En identifiant les parties réelles : $$\cos (nt)=\sum _{0\le 2p\le n}(-1{)}^p(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2p}){\cos }^{n-2p}t{\sin }^{2p}t.$$ (On a aussi, gratuitement, $\sin (nt)=\sum (-1{)}^p(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2p+1}){\cos }^{n-2p-1}t{\sin }^{2p+1}t$, en identifiant les parties imaginaires.) Comme ${\sin }^{2p}t={\left({\sin }^{2}t\right)}^p=(1-{\cos }^{2}t{)}^p$, chaque terme est un polynôme en $\cos t$ à coefficients entiers, et $$\cos (nt)=T_n(\cos t)\text{avec}{T}_n(X)=\sum _{0\le 2p\le n}(-1{)}^p(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2p})X^{n-2p}(1-X^2{)}^p,$$ fonction polynomiale à coefficients entiers. Pour $n=2$ : $T_2=X^2-(1-X^2)=2X^2-1$, la formule de duplication.

b) La récurrence. Par la transformation de produit en somme, avec $a=nt$ et $b=t$ : $$2\cos t\cos (nt)=\cos ((n-1)t)+\cos ((n+1)t).$$ Définissons alors, indépendamment du a), une suite de fonctions polynomiales par $T_0=1$, $T_1=X$ et $T_{n+1}=2X{T}_n-T_{n-1}$ pour $n\ge 1$ ; elles sont à coefficients entiers par une récurrence immédiate. Montrons par récurrence double sur $n$ que $T_n(\cos t)=\cos (nt)$ pour tout $t$. C'est vrai pour $n=0$ ($1=\cos 0$) et $n=1$ ($\cos t=\cos t$). Si c'est vrai aux rangs $n-1$ et $n$, alors pour tout $t$, $$T_{n+1}(\cos t)=2\cos t{T}_n(\cos t)-T_{n-1}(\cos t)=2\cos t\cos (nt)-\cos ((n-1)t)=\cos ((n+1)t),$$ par l'identité qu'on vient d'établir. Donc les $T_n$ de la récurrence font le même travail que ceux du a).

Les premiers. $T_2=2X\cdot X-1=2X^2-1$ ; $T_3=2X(2X^2-1)-X=4X^3-3X$ ; $T_4=2X(4X^3-3X)-(2X^2-1)=8X^4-8X^2+1$. Contrôle de $T_4$ : $\cos 4t=2{\cos }^{2}2t-1=2(2c^2-1{)}^2-1=8c^4-8c^2+1$ avec $c=\cos t$.

Le point délicat. Les deux constructions, celle du a) et celle du b), donnent deux fonctions polynomiales qui prennent les mêmes valeurs en tout point de $[-1,1]$ — puisque $\cos t$ décrit $[-1,1]$. Sont-elles le même polynôme, avec les mêmes coefficients ? Oui, mais cela demande un résultat du chapitre des polynômes — un polynôme non nul n'a qu'un nombre fini de racines, donc deux polynômes égaux en une infinité de points sont égaux — que nous n'utiliserons pas : tout ce qui suit ne se sert que des valeurs sur $[-1,1]$ et de la récurrence.

c) Le coefficient dominant. Montrons par récurrence double que, pour $n\ge 1$, $T_n$ est de la forme $2^{n-1}{X}^n+(\text{termes de degreˊ}<n)$. C'est vrai pour $n=1$ ($T_1=X=2^{0}X$) et $n=2$ ($T_2=2X^2-1$). Si c'est vrai aux rangs $n-1\ge 1$ et $n$, alors $2X{T}_n=2X\left(2^{n-1}{X}^n+\dots \right)=2^n{X}^{n+1}+(\text{degreˊ}\le n)$, et $T_{n-1}$ est de degré $n-1<n+1$ : le terme de plus haut degré de $T_{n+1}$ est $2^n{X}^{n+1}$. Ce qui achève la récurrence.

d) Les racines. Pour $0\le k\le n-1$, posons ${\theta }_k=\frac{(2k+1)\pi }{2n}$. Alors, par le a) ou le b), $$T_n(x_k)=T_n(\cos {\theta }_k)=\cos (n{\theta }_k)=\cos \left(\frac{(2k+1)\pi }{2}\right)=\cos \left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)=0.$$ Les $x_k$ sont deux à deux distincts : les angles ${\theta }_k$ vérifient $0<{\theta }_0<{\theta }_1<\cdots <{\theta }_{n-1}<\pi$ (car $1\le 2k+1\le 2n-1<2n$), et le cosinus est strictement décroissant sur $[0,\pi ]$, donc injectif : deux angles distincts de $]0,\pi [$ ont des cosinus distincts. Ainsi $T_n$, dont le terme dominant est de degré $n$, admet $n$ racines distinctes dans $]-1,1[$ — le maximum possible, comme on le verra au chapitre des polynômes, où l'on en déduira $T_n=2^{n-1}{\prod }_{k=0}^{n-1}(X-x_k)$.

Ce que l'exercice installe. Moivre plus le binôme, c'est la recette du cours pour « exprimer $\cos (nt)$ en fonction de $\cos t$ » ; on a vu qu'elle produit un polynôme, et que ce polynôme se calcule bien plus vite par une récurrence à trois termes que par le binôme. Les polynômes de Tchebychev reviendront au chapitre des polynômes (leurs racines, leur degré) et en analyse numérique, où l'on montre que, parmi tous les polynômes de degré $n$ et de coefficient dominant $2^{n-1}$, $T_n$ est celui qui reste le plus près de zéro sur $[-1,1]$ : ses valeurs y sont des cosinus, donc dans $[-1,1]$.