Noyau de Dirichlet. Pour …, montrer que :…

Stratégie : une somme géométrique, puis l'angle moitié. La somme est géométrique de raison $e^{it}$ ; c'est la mise en forme du résultat — la factorisation par l'angle moitié — qui fait apparaître les sinus.

1) La somme géométrique. Posons $q=e^{it}$. Comme $t\not\equiv 0[2\pi ]$, on a $q\ne 1$, et la somme compte $2n+1$ termes, de $k=-n$ à $k=n$ : $$\sum _{k=-n}^n{q}^k=q^{-n}\sum _{j=0}^{2n}{q}^j=q^{-n}\cdot \frac{q^{2n+1}-1}{q-1}$$ soit $$S=\frac{q^{n+1}-q^{-n}}{q-1}$$

2) L'angle moitié, deux fois. C'est la technique centrale du chapitre : on factorise numérateur et dénominateur par l'exponentielle de la moitié de la somme des exposants, pour faire surgir un sinus.

Au dénominateur : $$q-1=e^{it}-1=e^{it/2}\left(e^{it/2}-e^{-it/2}\right)=e^{it/2}\cdot 2i\sin \frac{t}{2}$$ Au numérateur, la demi-somme des exposants $n+1$ et $-n$ vaut $\frac{1}{2}$ : $$q^{n+1}-q^{-n}=e^{i(n+1)t}-e^{-int}=e^{it/2}\left(e^{i(n+\frac{1}{2})t}-e^{-i(n+\frac{1}{2})t}\right)=e^{it/2}\cdot 2i\sin \left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)$$

3) On divise. Les facteurs $e^{it/2}$ et $2i$ se simplifient : $$\boxed{\sum _{k=-n}^n{e}^{ikt}=\frac{\sin \left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)}{\sin \frac{t}{2}}}■$$

⚠️ Où sert l'hypothèse $t\not\equiv 0[2\pi ]$ ? À deux endroits, et il faut les nommer : elle garantit $q\ne 1$ (sans quoi la formule de la somme géométrique ne s'applique pas) et $\sin \frac{t}{2}\ne 0$ (sans quoi le membre de droite n'existe pas). Pour $t\equiv 0$, la somme vaut simplement $2n+1$ — chaque terme valant $1$.

Contrôle. $n=1$, $t=\pi$ : la somme vaut $e^{-i\pi }+1+e^{i\pi }=-1+1-1=-1$. La formule : $\frac{\sin \frac{3\pi }{2}}{\sin \frac{\pi }{2}}=\frac{-1}{1}=-1$ ✓.

Une remarque qui vaut d'être faite. La somme est réelle, alors qu'elle additionne des complexes : les termes $k$ et $-k$ sont conjugués, donc $S=1+2{\sum }_{k=1}^n\cos (kt)$. Cette quantité est le noyau de Dirichlet, qui gouverne la convergence des séries de Fourier — on la retrouvera en seconde année.