mathématiques MPSI · Chapitre 3 · Exercice de TD

Problème — La droite d'Euler et le cercle des neuf points

Nombres complexes · H. Nombres complexes et géométrie · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soient $A$ , $B$ , $C$ trois points deux à deux distincts du cercle unité $U$ , d'affixes $a$ , $b$ , $c$ ; le cercle unité est donc le cercle circonscrit au triangle $A B C$ , et $O$ , l'origine, en est le centre. (Tout triangle se ramène à cette situation par une similitude directe $z \mapsto \frac{z - o}{R}$ , qui conserve alignements, orthogonalité, milieux et rapports de distances.)

1) Montrer que pour tout $z \in U$ , $z ˉ = \frac{1}{z}$ . En déduire que pour $u, v \in U$ distincts, $(\frac{u + v}{u - v}) = - \frac{u + v}{u - v}$ , et conclure que $\frac{u + v}{u - v}$ est imaginaire pur.

2) On pose $h = a + b + c$ et l'on note $H$ le point d'affixe $h$ . Montrer que, si $h \neq = a$ , le quotient $\frac{h - a}{c - b}$ est imaginaire pur non nul. Que signifie $h = a$ ? En déduire que $H$ est l'orthocentre du triangle $A B C$ .

3) Soit $G$ le centre de gravité, d'affixe $g = \frac{a + b + c}{3}$ . Montrer que $O$ , $G$ , $H$ sont alignés et que $O H = 3 O G$ . Que se passe-t-il si $h = 0$ ?

4) Soit $s : z \mapsto b + c - b c z ˉ$ . Vérifier $s (b) = b$ et $s (c) = c$ , puis montrer que pour tout $z$ , le milieu de $[z, s (z)]$ appartient à la droite $(B C)$ et que $\frac{s ( z ) - z}{c - b}$ est imaginaire pur ou nul. En déduire que $s$ est la réflexion d'axe $(B C)$ .

5) Calculer $s (h)$ et montrer que $∣ s (h) ∣ = 1$ : le symétrique de l'orthocentre par rapport à un côté est sur le cercle circonscrit.

6) Soit $ω = \frac{h}{2}$ . Calculer $\frac{b + c}{2} - ω$ , $\frac{a + h}{2} - ω$ et $\frac{h + s ( h )}{2} - ω$ . Nommer les neuf points obtenus et énoncer le théorème.

Corrigé de la question 1

1) L'outil : sur le cercle unité, conjuguer c'est inverser. Pour $z \in U$ , $z z ˉ = ∣ z ∣^{2} = 1$ , et $z \neq = 0$ , donc $z ˉ = \frac{1}{z}$ . Soient $u, v \in U$ distincts ; le quotient $\frac{u + v}{u - v}$ est défini. Conjuguons-le, la conjugaison étant compatible avec la somme, la différence et le quotient : $(\frac{u + v}{u - v}) = \frac{u ˉ + v ˉ}{u ˉ - v ˉ} = \frac{\frac{1}{u} + \frac{1}{v}}{\frac{1}{u} - \frac{1}{v}} = \frac{\frac{v + u}{uv}}{\frac{v - u}{uv}} = \frac{u + v}{v - u} = - \frac{u + v}{u - v} .$ Un complexe $w$ qui vérifie $w ˉ = - w$ est imaginaire pur : en écrivant $w = x + i y$ , $w ˉ = - w$ s'écrit $x - i y = - x - i y$ , soit $x = 0$ . Donc $\frac{u + v}{u - v}$ est imaginaire pur.

Lecture. Le point $\frac{u + v}{2}$ est le milieu de la corde $[uv]$ ; le quotient $\frac{( u + v ) /2 - 0}{u - v}$ imaginaire pur dit que le rayon qui va de $O$ au milieu de la corde est perpendiculaire à la corde — quand ce milieu n'est pas $O$ , c'est-à-dire $u \neq = - v$ . C'est le théorème de la médiatrice d'une corde, obtenu en une ligne.

Question 2 : comment l'IA t'aide

Élève

Comme $h - a = b + c$ , le 1) appliqué à $b$ et $c$ rend le quotient imaginaire pur, donc $(A H)$ est perpendiculaire à $(B C)$ . Mais je n'ai qu'une hauteur : pour conclure à l'orthocentre, faut-il refaire tout le calcul pour $B$ et pour $C$ ?

Regarde la formule $h = a + b + c$ : que devient-elle si l'on permute les rôles de $a$ , $b$ , $c$ ? Et avant cela, le 1) donne « imaginaire pur », pas « non nul » : ta perpendicularité suppose que le quotient ne s'annule pas. Dans quel cas s'annule-t-il ?

Élève

La formule est symétrique, donc le même raisonnement vaut pour les deux autres sommets. Le quotient s'annule quand $b + c = 0$ , c'est-à-dire $h = a$ : là, la droite $(A H)$ n'existe plus.

Si $c = - b$ , que représente la corde $[B C]$ pour le cercle unité ? Quelle particularité le triangle $A B C$ a-t-il alors en $A$ , et où se trouve son orthocentre dans ce cas ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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