Résoudre dans ℝ l'équation cos t - sin t = 1, et déterminer le maximum…

Stratégie : la transformation $a\cos t+b\sin t=R\cos (t-\phi )$. Une combinaison de cosinus et de sinus de même angle est toujours un cosinus unique, d'amplitude $R=\sqrt{a^2+b^2}$. C'est ce qui rend l'équation résoluble et le maximum immédiat.

1) L'équation $\cos t-\sin t=1$.

Ici $a=1$, $b=-1$, donc $R=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$. Factorisons : $$\cos t-\sin t=\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos t-\frac{1}{\sqrt{2}}\sin t\right)=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi }{4}\cos t-\sin \frac{\pi }{4}\sin t\right)$$ et l'on reconnaît la formule d'addition $\cos (u+v)=\cos u\cos v-\sin u\sin v$ : $$\cos t-\sin t=\sqrt{2}\cos \left(t+\frac{\pi }{4}\right)$$

L'équation devient donc $$\sqrt{2}\cos \left(t+\frac{\pi }{4}\right)=1⟺\cos \left(t+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}=\cos \frac{\pi }{4}$$ D'où deux familles : $$t+\frac{\pi }{4}\equiv \frac{\pi }{4}[2\pi ]\text{ou}t+\frac{\pi }{4}\equiv -\frac{\pi }{4}[2\pi ]$$ $$\boxed{t\equiv 0[2\pi ]\text{ou}t\equiv -\frac{\pi }{2}[2\pi ]}$$ Sur $[0,2\pi [$ : $t=0$ et $t=\frac{3\pi }{2}$.

Contrôle : $t=0$ donne $1-0=1$ ✓ ; $t=\frac{3\pi }{2}$ donne $0-(-1)=1$ ✓.

2) Le maximum de $3\cos t-4\sin t$.

Même transformation, avec $a=3$, $b=-4$ : $$R=\sqrt{3^2+(-4{)}^2}=\sqrt{25}=5$$ Il existe donc $\phi$ tel que $$3\cos t-4\sin t=5\cos (t-\phi )$$ (concrètement, $\phi$ est l'argument du complexe $3+4i$, c'est-à-dire $\phi =\arctan \frac{4}{3}$ ; sa valeur n'importe pas ici.)

Comme $\cos$ prend toutes les valeurs de $[-1,1]$ et les atteint, la quantité $5\cos (t-\phi )$ décrit exactement $[-5,5]$ : $$\boxed{\underset{t\in \mathbb{R}}{\max }\left(3\cos t-4\sin t\right)=5}$$ atteint pour $t\equiv \phi [2\pi ]$.

⚠️ Ce qu'il ne faut pas faire. Majorer terme à terme — « $3\cos t⩽3$ et $-4\sin t⩽4$, donc l'expression est $⩽7$ » — donne un majorant qui n'est jamais atteint : les deux majorations demanderaient $\cos t=1$ et $\sin t=-1$ en même temps, ce qui est impossible. Un majorant n'est un maximum que s'il est atteint.

La règle à retenir. $a\cos t+b\sin t$ oscille entre $-\sqrt{a^2+b^2}$ et $+\sqrt{a^2+b^2}$, et atteint ces deux valeurs. L'amplitude est le module du complexe $a+ib$ — la trigonométrie et les complexes disent ici la même chose.