Résoudre dans ℂ l'équation z + |z| = 2 + i.

Stratégie : séparer parties réelle et imaginaire. L'équation mêle $z$ et $|z|$ ; or $|z|$ est un réel. C'est cette observation, et elle seule, qui débloque l'exercice : l'identification des parties imaginaires donnera $y$ immédiatement.

Mise en équations. Posons $z=x+iy$ avec $x,y\in \mathbb{R}$. Alors $|z|=\sqrt{x^2+y^2}$ est réel, et $$z+|z|=\left(x+\sqrt{x^2+y^2}\right)+iy$$ Deux complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles et imaginaires le sont. L'équation $z+|z|=2+i$ équivaut donc au système $$\{\begin{array}{l}x+\sqrt{x^2+y^2}=2\\ y=1\end{array}$$

Résolution. Avec $y=1$, la première équation devient $$\sqrt{x^2+1}=2-x$$

⚠️ On ne peut pas élever au carré sans précaution : un membre de gauche est positif ou nul, donc une solution éventuelle vérifie nécessairement $2-x⩾0$, soit $x⩽2$. On retient cette condition et on élève : $$x^2+1=4-4x+x^2⟺4x=3⟺x=\frac{3}{4}$$ Et $\frac{3}{4}⩽2$ : la condition est vérifiée, la solution est valide.

$$\boxed{z=\frac{3}{4}+i}$$

Vérification — et elle est indispensable, puisque l'élévation au carré n'est pas une équivalence. Pour $z=\frac{3}{4}+i$ : $$|z|=\sqrt{\frac{9}{16}+1}=\sqrt{\frac{25}{16}}=\frac{5}{4},z+|z|=\frac{3}{4}+\frac{5}{4}+i=2+i✓$$

Ce que l'exercice enseigne. Devant une équation où $z$ et $|z|$ cohabitent, la forme algébrique est le bon terrain : elle sépare l'équation en deux équations réelles, dont l'une est souvent immédiate. Et toute élévation au carré s'accompagne d'une condition de signe, qu'on pose AVANT et qu'on vérifie APRÈS.