Soient a ∈ ℂ avec |a| < 1 et z ∈ U. Montrer que :…

Stratégie : faire apparaître un conjugué. Le dénominateur $1-\overline{a}z$ semble sans rapport avec le numérateur $z-a$. L'hypothèse $|z|=1$ va les relier, et le calcul tient en une ligne une fois qu'on l'a vue.

L'observation qui fait tout. Comme $z\in \mathbb{U}$, on a $|z|=1$, donc $$z\overline{z}=|z{|}^2=1$$ On peut donc remplacer le $1$ du dénominateur par $z\overline{z}$ : $$1-\overline{a}z=z\overline{z}-\overline{a}z=z\left(\overline{z}-\overline{a}\right)=z\overline{\left(z-a\right)}$$

Le calcul des modules. En prenant les modules, et puisque $|\overline{u}|=|u|$ : $$\left|1-\overline{a}z\right|=|z|\cdot \left|\overline{z-a}\right|=1\cdot |z-a|=|z-a|$$

Conclusion. Le numérateur et le dénominateur ont donc le même module, d'où $$\boxed{\left|\frac{z-a}{1-\overline{a}z}\right|=1}■$$

⚠️ Où sert l'hypothèse $|a|<1$ ? Elle ne sert pas au calcul, mais à ce que le quotient existe. Le dénominateur s'annule pour $z=\frac{1}{\overline{a}}$, dont le module vaut $\frac{1}{|a|}>1$ : ce point n'est pas sur le cercle unité, donc $1-\overline{a}z\ne 0$ pour tout $z\in \mathbb{U}$. Sans cette hypothèse, l'énoncé n'aurait pas de sens pour un $z$ particulier.

Contrôle. Avec $a=\frac{1}{2}$ et $z=i$ : le numérateur vaut $i-\frac{1}{2}$, de module $\sqrt{\frac{1}{4}+1}=\frac{\sqrt{5}}{2}$ ; le dénominateur $1-\frac{i}{2}$, de module $\sqrt{1+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$. Le quotient a bien pour module $1$ ✓.

Ce que cette application cache. L'application $z\mapsto \frac{z-a}{1-\overline{a}z}$ est un automorphisme du disque unité — elle envoie le disque sur lui-même et le cercle sur le cercle. On vient d'en démontrer la seconde moitié. Le remplacement de $1$ par $z\overline{z}$ est le geste à retenir : c'est lui qui rend le calcul immédiat, et il ne fonctionne que sur le cercle unité.