mathématiques MPSI · Chapitre 3 · Exercice de TD

Un produit de sinus qui vaut un entier

Nombres complexes · F. Racines $n$ -ièmes de l'unité · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soit $n \geq 2$ et $ω = e^{2 iπ / n}$ .

a) Montrer que, pour tout $z \in C$ , $1 + z + z^{2} + \dots + z^{n - 1} = k = 1 \prod n - 1 (z - ω^{k})$ . En déduire $k = 1 \prod n - 1 (1 - ω^{k}) = n$ .

b) Montrer que $1 - ω^{k} = 2 sin \frac{k π}{n}$ pour $1 \leq k \leq n - 1$ , et en déduire $k = 1 \prod n - 1 sin \frac{k π}{n} = \frac{n}{2 ^{n - 1}} .$

c) Que donne le cas $n = 5$ , joint à $sin \frac{4 π}{5} = sin \frac{π}{5}$ et $sin \frac{3 π}{5} = sin \frac{2 π}{5}$ ?

Corrigé de la question 1

La stratégie : faire porter le calcul à un polynôme, puis passer aux modules. Le produit de sinus semble inabordable de front ; il devient immédiat dès qu'on le reconnaît comme le module d'un produit de racines de l'unité. Ce qu'on a le droit d'utiliser : la factorisation de $z^{n} - 1$ par $z - 1$ , la proposition de factorisation par $z - a$ d'une fonction polynomiale ayant $a$ pour racine (avec conservation du coefficient dominant), et l'angle moitié.

a) La factorisation. Posons $Q (z) = 1 + z + \dots + z^{n - 1}$ , de sorte que $z^{n} - 1 = (z - 1) Q (z)$ pour tout $z$ — c'est la factorisation de $a^{n} - b^{n}$ . Pour $1 \leq k \leq n - 1$ , $ω^{k} \neq = 1$ et $(ω^{k})^{n} = 1$ ; donc $(ω^{k} - 1) Q (ω^{k}) = 0$ avec $ω^{k} - 1 \neq = 0$ , d'où $Q (ω^{k}) = 0$ : les $n - 1$ racines $n$ -ièmes de l'unité autres que $1$ sont racines de $Q$ .

Factorisons alors $Q$ successivement, par la proposition du cours. Comme $Q (ω) = 0$ , $Q (z) = (z - ω) Q_{1} (z)$ avec $Q_{1}$ polynomiale de degré $n - 2$ et de coefficient dominant $1$ , celui de $Q$ . Puis $Q (ω^{2}) = 0$ avec $ω^{2} - ω \neq = 0$ donne $Q_{1} (ω^{2}) = 0$ , donc $Q_{1} (z) = (z - ω^{2}) Q_{2} (z)$ , et ainsi de suite : après $n - 1$ factorisations, il reste un polynôme de degré $0$ , égal à son coefficient dominant $1$ . Donc, pour tout $z \in C$ , $1 + z + \dots + z^{n - 1} = k = 1 \prod n - 1 (z - ω^{k}) .$ C'est une égalité entre fonctions polynomiales, valable en tout point — y compris en $z = 1$ , où le membre de gauche compte $n$ termes tous égaux à $1$ : $k = 1 \prod n - 1 (1 - ω^{k}) = n .$ C'est déjà un résultat remarquable : un produit de $n - 1$ nombres complexes, dont aucun n'est réel en général, vaut exactement l'entier $n$ .

Le point délicat. On ne peut pas « diviser $z^{n} - 1 = \prod_{k = 0}^{n - 1} (z - ω^{k})$ par $z - 1$ puis faire $z = 1$ » : la division exige $z \neq = 1$ , et l'évaluation exige $z = 1$ . C'est la factorisation successive par $z - a$ — un énoncé sur les fonctions polynomiales, valable partout — qui donne l'égalité en tout point, donc en $1$ . (Le chapitre des polynômes dira la même chose plus vite : deux polynômes unitaires de degré $n - 1$ ayant les mêmes $n - 1$ racines simples sont égaux.)

Question 2 : comment l'IA t'aide

b) Montrer que $1 - ω^{k} = 2 sin \frac{k π}{n}$ pour $1 \leq k \leq n - 1$ , et en déduire $k = 1 \prod n - 1 sin \frac{k π}{n} = \frac{n}{2 ^{n - 1}} .$

Élève

Pour le b), j'obtiens $∣1 - ω^{k} ∣ = 2 sin \frac{k π}{n}$ par l'angle moitié. Pour le produit, j'ai pensé prendre les parties imaginaires dans l'égalité du a), mais un produit de complexes ne se sépare pas ainsi. Comment exploiter cette égalité ?

Tu as raison, la partie imaginaire d'un produit n'est pas le produit des parties imaginaires. Quelle quantité associée à un complexe se comporte bien avec les produits, et que vaut-elle pour le membre de droite du a) ?

Élève

C'est le module : celui d'un produit est le produit des modules, et celui du membre de droite vaut $n$ . J'obtiens donc un produit de facteurs $2 sin \frac{k π}{n}$ .

Bien. Avant de sortir les facteurs $2$ , peux-tu retirer les valeurs absolues pour tous les $k$ de $1$ à $n - 1$ , et sur quel petit cas, $n = 3$ ou $n = 4$ , contrôlerais-tu la formule obtenue ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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