Un produit de sinus qui vaut un entier

La stratégie : faire porter le calcul à un polynôme, puis passer aux modules. Le produit de sinus semble inabordable de front ; il devient immédiat dès qu'on le reconnaît comme le module d'un produit de racines de l'unité. Ce qu'on a le droit d'utiliser : la factorisation de $z^n-1$ par $z-1$, la proposition de factorisation par $z-a$ d'une fonction polynomiale ayant $a$ pour racine (avec conservation du coefficient dominant), et l'angle moitié.

a) La factorisation. Posons $Q(z)=1+z+\cdots +z^{n-1}$, de sorte que $z^n-1=(z-1)Q(z)$ pour tout $z$ — c'est la factorisation de $a^n-b^n$. Pour $1\le k\le n-1$, ${\omega }^k\ne 1$ et $({\omega }^k{)}^n=1$ ; donc $({\omega }^k-1)Q({\omega }^k)=0$ avec ${\omega }^k-1\ne 0$, d'où $Q({\omega }^k)=0$ : les $n-1$ racines $n$-ièmes de l'unité autres que $1$ sont racines de $Q$.

Factorisons alors $Q$ successivement, par la proposition du cours. Comme $Q(\omega )=0$, $Q(z)=(z-\omega )Q_1(z)$ avec $Q_1$ polynomiale de degré $n-2$ et de coefficient dominant $1$, celui de $Q$. Puis $Q({\omega }^2)=0$ avec ${\omega }^2-\omega \ne 0$ donne $Q_1({\omega }^2)=0$, donc $Q_1(z)=(z-{\omega }^2)Q_2(z)$, et ainsi de suite : après $n-1$ factorisations, il reste un polynôme de degré $0$, égal à son coefficient dominant $1$. Donc, pour tout $z\in \mathbb{C}$, $$1+z+\cdots +z^{n-1}=\prod _{k=1}^{n-1}\left(z-{\omega }^k\right).$$ C'est une égalité entre fonctions polynomiales, valable en tout point — y compris en $z=1$, où le membre de gauche compte $n$ termes tous égaux à $1$ : $$\prod _{k=1}^{n-1}\left(1-{\omega }^k\right)=n.$$ C'est déjà un résultat remarquable : un produit de $n-1$ nombres complexes, dont aucun n'est réel en général, vaut exactement l'entier $n$.

Le point délicat. On ne peut pas « diviser $z^n-1={\prod }_{k=0}^{n-1}(z-{\omega }^k)$ par $z-1$ puis faire $z=1$ » : la division exige $z\ne 1$, et l'évaluation exige $z=1$. C'est la factorisation successive par $z-a$ — un énoncé sur les fonctions polynomiales, valable partout — qui donne l'égalité en tout point, donc en $1$. (Le chapitre des polynômes dira la même chose plus vite : deux polynômes unitaires de degré $n-1$ ayant les mêmes $n-1$ racines simples sont égaux.)

b) L'angle moitié et les modules. Pour $\theta \in \mathbb{R}$, $1-e^{i\theta }=-2i\sin \frac{\theta }{2}{e}^{i\theta /2}$, donc $\left|1-e^{i\theta }\right|=2\left|\sin \frac{\theta }{2}\right|$, puisque $|-2i|=2$ et $\left|e^{i\theta /2}\right|=1$. Avec $\theta =\frac{2k\pi }{n}$ : $$\left|1-{\omega }^k\right|=2\left|\sin \frac{k\pi }{n}\right|=2\sin \frac{k\pi }{n},$$ la valeur absolue tombant parce que $0<\frac{k\pi }{n}<\pi$ pour $1\le k\le n-1$, donc $\sin \frac{k\pi }{n}>0$. Prenons alors le module des deux membres de l'égalité du a) : le module d'un produit est le produit des modules, et $|n|=n$ : $$n=\prod _{k=1}^{n-1}\left|1-{\omega }^k\right|=\prod _{k=1}^{n-1}2\sin \frac{k\pi }{n}=2^{n-1}\prod _{k=1}^{n-1}\sin \frac{k\pi }{n},\text{d’ouˋ}\prod _{k=1}^{n-1}\sin \frac{k\pi }{n}=\frac{n}{2^{n-1}}.$$ Contrôles. $n=3$ : $\sin \frac{\pi }{3}\sin \frac{2\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{4}=\frac{3}{4}$. $n=4$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot 1\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2}=\frac{4}{8}$. $n=6$ : $\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 1\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{16}$, et $\frac{6}{32}=\frac{3}{16}$.

c) Le pentagone. Pour $n=5$, le produit vaut $\frac{5}{16}$. Par les symétries $\sin (\pi -x)=\sin x$, il s'écrit ${\left(\sin \frac{\pi }{5}\sin \frac{2\pi }{5}\right)}^2=\frac{5}{16}$, et comme ces sinus sont positifs, $$\sin \frac{\pi }{5}\sin \frac{2\pi }{5}=\frac{\sqrt{5}}{4}.$$ Contrôle : $\sin 36°\approx 0,5878$, $\sin 72°\approx 0,9511$, produit $\approx 0,559$, et $\frac{\sqrt{5}}{4}\approx 0,559$. C'est le pendant, pour les sinus, de $\cos \frac{\pi }{5}\cos \frac{2\pi }{5}=\frac{1}{4}$ obtenu à la séance précédente ; le nombre $\sqrt{5}$ y apparaît pour la même raison, le pentagone régulier.

Ce que l'exercice installe. Une identité trigonométrique a été obtenue sans aucune formule de trigonométrie : on est passé par les racines de l'unité, on a fait le calcul dans un polynôme, puis on a pris le module. C'est le mouvement caractéristique du chapitre — quitter le réel pour le complexe, laisser la structure faire le calcul, revenir — et la factorisation $z^n-1=\prod (z-{\omega }^k)$ est l'exemple fondateur de la factorisation d'un polynôme par ses racines.