Une équation bicarrée, et la factorisation réelle qu'elle donne

La stratégie : l'équation est bicarrée. Elle ne contient que des puissances paires de $z$ ; le changement d'inconnue $w=z^2$ la ramène au second degré, qu'on sait résoudre dans $\mathbb{C}$. Puis, pour factoriser dans $\mathbb{R}$, on regroupe les racines conjuguées : deux racines conjuguées $\alpha$ et $\bar{\alpha }$ donnent le facteur réel $(z-\alpha )(z-\bar{\alpha })=z^2-2\mathrm{Re}(\alpha )z+|\alpha {|}^2$. Ce qu'on a le droit d'utiliser : la résolution du second degré dans $\mathbb{C}$, les racines carrées d'un complexe de module $1$ donné par son argument, et somme et produit des racines.

1) Résolution en $w$. Posons $w=z^2$. L'équation devient $w^2+w+1=0$, de discriminant $\Delta =1-4=-3$, de racines $$w=\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}.$$ On reconnaît $j=e^{2i\pi /3}=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\bar{j}=e^{-2i\pi /3}=j^2$, les deux racines cubiques de l'unité autres que $1$ — ce qui est cohérent, puisque $1+w+w^2=0$ est l'équation qu'elles vérifient.

2) Retour à $z$ : deux équations $z^2=w$. Les racines carrées d'un complexe de module $1$ et d'argument $\alpha$ sont $e^{i\alpha /2}$ et $-e^{i\alpha /2}=e^{i(\alpha /2+\pi )}$.

Premier cas, $z^2=e^{2i\pi /3}$ : $z=e^{i\pi /3}$ ou $z=e^{i(\pi /3+\pi )}=e^{4i\pi /3}$.

Second cas, $z^2=e^{-2i\pi /3}$ : $z=e^{-i\pi /3}=e^{5i\pi /3}$ ou $z=e^{i(-\pi /3+\pi )}=e^{2i\pi /3}$.

L'ensemble des solutions est donc $$\mathcal{S}=\left\{e^{i\pi /3},e^{2i\pi /3},e^{4i\pi /3},e^{5i\pi /3}\right\}=\left\{\pm \frac{1}{2}\pm i\frac{\sqrt{3}}{2}\right\},$$ les quatre combinaisons de signes. Ce sont quatre points du cercle unité, aux angles $60°$, $120°$, $240°$, $300°$.

3) La factorisation réelle. Les quatre racines se regroupent en deux paires de conjuguées. La paire $e^{\pm i\pi /3}$ a pour somme $2\cos \frac{\pi }{3}=1$ et pour produit $1$ : elle donne le facteur $z^2-z+1$. La paire $e^{\pm 2i\pi /3}$ a pour somme $2\cos \frac{2\pi }{3}=-1$ et pour produit $1$ : elle donne $z^2+z+1$. Le polynôme $z^4+z^2+1$, de coefficient dominant $1$, ayant ces quatre racines distinctes, s'écrit — par factorisations successives par $z-a$ — comme le produit des quatre facteurs $z-a$, donc $$z^4+z^2+1=(z^2+z+1)(z^2-z+1).$$ Vérification par développement : $z^4-z^3+z^2+z^3-z^2+z+z^2-z+1=z^4+z^2+1$.

4) Une seconde méthode, réelle. On peut faire apparaître une différence de deux carrés en complétant le carré : $z^4+z^2+1=(z^4+2z^2+1)-z^2=(z^2+1{)}^2-z^2=(z^2+1-z)(z^2+1+z)$. C'est la même factorisation, obtenue en une ligne — mais par une astuce qu'il fallait voir, alors que le passage par $\mathbb{C}$ est une méthode qui marche toujours.

5) Les racines sixièmes de l'unité. Multiplions l'équation par $z^2-1$ : comme $(z^2-1)(z^4+z^2+1)=z^6-1$ (c'est la factorisation $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ avec $a=z^2$, $b=1$), toute solution vérifie $z^6=1$. Les solutions sont donc parmi les six racines sixièmes de l'unité, $e^{ik\pi /3}$ pour $k=0,\dots ,5$ ; et l'on écarte $z=\pm 1$, qui annulent le facteur $z^2-1$ ajouté et non l'équation de départ ($1+1+1\ne 0$). Restent $k=1,2,4,5$ : c'est bien $\mathcal{S}$. Multiplier par ce qui manque pour reconstituer $z^n-1$ est un réflexe utile.

Le point délicat. Cette factorisation ne se devine pas, elle se construit. Le polynôme n'a aucune racine réelle (il est somme de termes positifs dont l'un vaut $1$), donc aucune « racine évidente » ne l'amorce. C'est le passage par $\mathbb{C}$, puis le regroupement des racines conjuguées, qui produit les facteurs réels du second degré. Le regroupement fonctionne parce que le polynôme est à coefficients réels : si $\alpha$ est racine, $\bar{\alpha }$ l'est aussi, en conjuguant l'équation.

Ce que l'exercice installe. Tout polynôme réel se factorise sur $\mathbb{R}$ en facteurs de degré $1$ et $2$, et ce sont les paires de racines complexes conjuguées qui donnent les facteurs de degré $2$ — c'est un théorème du chapitre des polynômes, et l'exercice en est le premier exemple. Le geste — résoudre dans $\mathbb{C}$, regrouper par paires conjuguées, lire somme et produit — est celui qu'on refera pour factoriser $z^n-1$ et pour décomposer les fractions rationnelles.