Une exponentielle complexe posée en inconnue

La stratégie : poser $w=e^z$. L'équation devient algébrique en $w$ — du second degré — et il reste à résoudre $e^z=w_0$ pour chaque racine $w_0$, ce que le cours fait par module et argument. Ce qu'on a le droit d'utiliser : $e^{2z}={\left(e^z\right)}^2$ (exponentielle d'une somme), $e^z\ne 0$, et le théorème : $e^z=e^{z^{\prime }}$ si et seulement si $z-z^{\prime }\in 2i\pi \mathbb{Z}$.

a) L'équation particulière. Posons $w=e^z$ ; alors $e^{2z}=w^2$ et l'équation s'écrit $w^2+w+1=0$, de discriminant $-3$, de racines $w=\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}$, c'est-à-dire $j=e^{2i\pi /3}$ et $\bar{j}=e^{-2i\pi /3}$. Il reste deux équations, $e^z=e^{2i\pi /3}$ et $e^z=e^{-2i\pi /3}$. Par le théorème de périodicité, $$e^z=e^{2i\pi /3}⟺z-\frac{2i\pi }{3}\in 2i\pi \mathbb{Z}⟺z=i\left(\frac{2\pi }{3}+2k\pi \right),k\in \mathbb{Z},$$ et de même $e^z=e^{-2i\pi /3}⟺z=i\left(-\frac{2\pi }{3}+2k\pi \right)$. L'ensemble des solutions est $$\mathcal{S}=\left\{i\left(\pm \frac{2\pi }{3}+2k\pi \right):k\in \mathbb{Z}\right\}:$$ une infinité de points, tous sur l'axe imaginaire, régulièrement espacés de $2\pi$ dans chaque famille.

Pourquoi on ne perd rien. Le passage de $z$ à $w$ n'est pas une bijection — une infinité de $z$ donnent le même $w$ — mais c'est une équivalence : $z$ est solution si et seulement si $e^z$ est racine du trinôme. On n'a donc ni perdu ni ajouté de solution ; on a seulement regroupé les $z$ par la valeur de $e^z$.