Une exponentielle complexe posée en inconnue

La stratégie : poser $w=e^z$. L'équation devient algébrique en $w$ — du second degré — et il reste à résoudre $e^z=w_0$ pour chaque racine $w_0$, ce que le cours fait par module et argument. Ce qu'on a le droit d'utiliser : $e^{2z}={\left(e^z\right)}^2$ (exponentielle d'une somme), $e^z\ne 0$, et le théorème : $e^z=e^{z^{\prime }}$ si et seulement si $z-z^{\prime }\in 2i\pi \mathbb{Z}$.

a) L'équation particulière. Posons $w=e^z$ ; alors $e^{2z}=w^2$ et l'équation s'écrit $w^2+w+1=0$, de discriminant $-3$, de racines $w=\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}$, c'est-à-dire $j=e^{2i\pi /3}$ et $\bar{j}=e^{-2i\pi /3}$. Il reste deux équations, $e^z=e^{2i\pi /3}$ et $e^z=e^{-2i\pi /3}$. Par le théorème de périodicité, $$e^z=e^{2i\pi /3}⟺z-\frac{2i\pi }{3}\in 2i\pi \mathbb{Z}⟺z=i\left(\frac{2\pi }{3}+2k\pi \right),k\in \mathbb{Z},$$ et de même $e^z=e^{-2i\pi /3}⟺z=i\left(-\frac{2\pi }{3}+2k\pi \right)$. L'ensemble des solutions est $$\mathcal{S}=\left\{i\left(\pm \frac{2\pi }{3}+2k\pi \right):k\in \mathbb{Z}\right\}:$$ une infinité de points, tous sur l'axe imaginaire, régulièrement espacés de $2\pi$ dans chaque famille.

Pourquoi on ne perd rien. Le passage de $z$ à $w$ n'est pas une bijection — une infinité de $z$ donnent le même $w$ — mais c'est une équivalence : $z$ est solution si et seulement si $e^z$ est racine du trinôme. On n'a donc ni perdu ni ajouté de solution ; on a seulement regroupé les $z$ par la valeur de $e^z$.

b) Le cas général. Avec $w=e^z$ : $w^2-2\cos \theta w+1=0$, de discriminant réduit ${\Delta }^{\prime }={\cos }^2\theta -1=-{\sin }^2\theta$. Les racines sont $$w=\cos \theta \pm i\sin \theta =e^{i\theta }\text{ou}{e}^{-i\theta }.$$ (On peut aussi le voir directement : somme $2\cos \theta$, produit $e^{i\theta }{e}^{-i\theta }=1$ — le trinôme est $(w-e^{i\theta })(w-e^{-i\theta })$.) Les deux racines sont de module $1$, et $e^z=e^{\pm i\theta }$ équivaut à $z=i(\pm \theta +2k\pi )$, $k\in \mathbb{Z}$ : $${\mathcal{S}}_{\theta }=\left\{i\left(\theta +2k\pi \right):k\in \mathbb{Z}\right\}\cup \left\{i\left(-\theta +2k\pi \right):k\in \mathbb{Z}\right\}.$$ Le a) est le cas $\theta =\frac{2\pi }{3}$. En écrivant $z=x+iy$, on lit directement : $|e^z|=e^x=|e^{\pm i\theta }|=1$ impose $x=0$, et $y\equiv \pm \theta [2\pi ]$.

c) Le cas double, et la géométrie. Les deux familles $i(\theta +2\pi \mathbb{Z})$ et $i(-\theta +2\pi \mathbb{Z})$ coïncident si et seulement si $\theta \equiv -\theta [2\pi ]$, c'est-à-dire $2\theta \in 2\pi \mathbb{Z}$, c'est-à-dire $\theta \equiv 0[\pi ]$ — exactement les cas $\sin \theta =0$ où le discriminant s'annule et où $e^{i\theta }=e^{-i\theta }=\pm 1$. Pour $\theta =0$, l'équation est $(e^z-1{)}^2=0$, de solutions $2i\pi \mathbb{Z}$ ; pour $\theta =\pi$, c'est $(e^z+1{)}^2=0$, de solutions $i\pi +2i\pi \mathbb{Z}$.

Géométriquement. Les solutions sont les points de l'axe imaginaire d'ordonnées $\pm \theta +2k\pi$ : deux réseaux de points régulièrement espacés de $2\pi$ sur l'axe imaginaire, symétriques l'un de l'autre par rapport à l'origine, et qui se superposent quand $\theta \equiv 0[\pi ]$. L'exponentielle complexe enroule cet axe sur le cercle unité : chaque tour de $2\pi$ revient au même point $e^{i\theta }$, et c'est cet enroulement qui produit l'infinité des solutions.

Le point délicat. L'équation $e^z=a$ n'a jamais une solution unique : elle en a une infinité dès que $a\ne 0$, et aucune si $a=0$. Oublier le $2k\pi$ — écrire $z=i\theta$ et s'arrêter — est l'erreur type ; le théorème de périodicité dit précisément que l'exponentielle complexe est injective modulo $2i\pi$ et pas davantage.

Ce que l'exercice installe. Devant une équation où $e^z$ apparaît à plusieurs puissances, le changement d'inconnue $w=e^z$ la rend algébrique ; on la résout, puis on revient à $z$ par module et argument, et le noyau $2i\pi \mathbb{Z}$ donne l'infinité des solutions. On retrouvera ce geste pour les équations différentielles à coefficients complexes et pour la fonction logarithme complexe, en deuxième année.