Une somme binomiale de cosinus

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques MPSI, chapitre 3 — Nombres complexes · C. Trigonométrie : Euler, angle moitié, Moivre

Énoncé

Pour $t \in R$ et $n \in N^{*}$ , on pose $S_{n} (t) = k = 0 \sum n (k n) cos (k t)$ et $T_{n} (t) = k = 0 \sum n (k n) sin (k t)$ , où le coefficient binomial $(k n)$ se lit « $k$ parmi $n$ ».

a) Calculer $S_{n} (t)$ en l'écrivant comme partie réelle de $(1 + e^{i t})^{n}$ .

b) En déduire $T_{n} (t)$ .

c) Application : prendre $t = \frac{π}{2}$ . Que valent $0 \leq 2 p \leq n \sum (- 1)^{p} (2 p n)$ et $0 \leq 2 p + 1 \leq n \sum (- 1)^{p} (2 p + 1 n)$ ?

Corrigé

La stratégie. Une somme de cosinus est la partie réelle d'une somme de complexes, $cos (k t) = Re (e^{ik t})$ ; et $e^{ik t} = (e^{i t})^{k}$ par Moivre, ce qui fait apparaître le binôme de Newton, qui ferme la somme. Ensuite, la technique de l'angle moitié met $1 + e^{i t}$ sous forme trigonométrique, et l'on relit la partie réelle. Ce qu'on a le droit d'utiliser : $(e^{i t})^{k} = e^{ik t}$ , le binôme dans $C$ , $1 + e^{i t} = 2 cos \frac{t}{2} e^{i t /2}$ , et Moivre à nouveau pour élever à la puissance $n$ .

a) La fermeture. Puisque $cos (k t) = Re (e^{ik t})$ et que la partie réelle d'une somme est la somme des parties réelles (les coefficients binomiaux sont réels) : $S_{n} (t) = Re (k = 0 \sum n (k n) e^{ik t}) = Re (k = 0 \sum n (k n) (e^{i t})^{k} 1^{n - k}) = Re ((1 + e^{i t})^{n}),$ par la formule du binôme appliquée à $1$ et $e^{i t}$ . L'angle moitié donne $1 + e^{i t} = e^{i t /2} (e^{- i t /2} + e^{i t /2}) = 2 cos \frac{t}{2} e^{i t /2}$ , d'où, par Moivre, $(1 + e^{i t})^{n} = 2^{n} cos^{n} \frac{t}{2} e^{in t /2} .$ Le facteur $2^{n} cos^{n} \frac{t}{2}$ est un réel — de signe quelconque, mais réel, et c'est tout ce qui compte pour prendre la partie réelle. Donc $S_{n} (t) = 2^{n} cos^{n} \frac{t}{2} cos \frac{n t}{2} .$ Contrôle. Pour $t = 0$ : $S_{n} (0) = \sum (k n) = 2^{n}$ , et la formule donne $2^{n} \cdot 1 \cdot 1$ . Pour $n = 1$ : $S_{1} (t) = 1 + cos t$ , et $2 cos \frac{t}{2} cos \frac{t}{2} = 2 cos^{2} \frac{t}{2} = 1 + cos t$ par linéarisation.

b) La somme de sinus. C'est la partie imaginaire de la même somme, calculée en même temps : $T_{n} (t) = Im (2^{n} cos^{n} \frac{t}{2} e^{in t /2}) = 2^{n} cos^{n} \frac{t}{2} sin \frac{n t}{2} .$ Contrôle pour $n = 1$ : $T_{1} (t) = sin t = 2 sin \frac{t}{2} cos \frac{t}{2}$ , la formule de duplication.

Le point délicat. Il faut que le facteur devant l'exponentielle soit réel pour lire directement la partie réelle et la partie imaginaire ; c'est pour cela qu'on factorise par $e^{i t /2}$ et non autrement. Et il ne faut pas confondre $2^{n} cos^{n} \frac{t}{2} e^{in t /2}$ avec une forme trigonométrique : quand $cos \frac{t}{2} < 0$ , le module est $2^{n} cos \frac{t}{2}^{n}$ et l'argument diffère de $\frac{n t}{2}$ de $π$ ou de $0$ — mais la lecture des parties réelle et imaginaire, elle, ne demande aucune forme trigonométrique.

c) Les sommes alternées. Pour $t = \frac{π}{2}$ , $cos \frac{k π}{2}$ vaut $0$ si $k$ est impair et $(- 1)^{p}$ si $k = 2 p$ ; $sin \frac{k π}{2}$ vaut $0$ si $k$ est pair et $(- 1)^{p}$ si $k = 2 p + 1$ . Donc $S_{n} (\frac{π}{2})$ ne retient que les indices pairs, $T_{n} (\frac{π}{2})$ que les impairs, et, avec $cos \frac{π}{4} = \frac{2}{2}$ , $2^{n} (\frac{2}{2})^{n} = 2^{n /2}$ : $0 \leq 2 p \leq n \sum (- 1)^{p} (2 p n) = 2^{n /2} cos \frac{nπ}{4}, 0 \leq 2 p + 1 \leq n \sum (- 1)^{p} (2 p + 1 n) = 2^{n /2} sin \frac{nπ}{4} .$ Contrôles. Pour $n = 4$ : $(0 4) - (2 4) + (4 4) = 1 - 6 + 1 = - 4$ , et $4 cos π = - 4$ . Pour $n = 3$ : $(0 3) - (2 3) = 1 - 3 = - 2$ , et $22 cos \frac{3 π}{4} = 22 \cdot (- \frac{2}{2}) = - 2$ ; côté sinus, $(1 3) - (3 3) = 3 - 1 = 2$ , et $22 sin \frac{3 π}{4} = 2$ .

Ce que l'exercice installe. Trois gestes enchaînés, qu'on retrouvera chaque fois qu'une somme trigonométrique se présente : passer en complexes (la somme de cosinus est une partie réelle), fermer la somme (binôme, ou somme géométrique), factoriser par l'angle moitié pour relire. Le même enchaînement, avec la somme géométrique à la place du binôme, calcule $\sum cos (k t)$ — c'est la proposition du cours — et, au chapitre des séries, les sommes de Fourier.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.