$\cos x+\cos (\sqrt{2}x)$ n'est pas périodique

La stratégie. Une fonction $T$-périodique reprend en $T$ la valeur qu'elle a en $0$. Si l'on sait que $f$ atteint son maximum en $0$ seulement, aucune période n'est possible : $f(T)=f(0)$ forcerait $T=0$. Tout revient donc à localiser les points où le maximum est atteint, et c'est l'irrationalité de $\sqrt{2}$ qui les réduit à un seul. Ce qu'on a le droit d'utiliser : $\cos u\le 1$ avec égalité si et seulement si $u\in 2\pi \mathbb{Z}$, et $\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}$.

a) Le maximum, atteint une seule fois. Pour tout $x$, $\cos x\le 1$ et $\cos (\sqrt{2}x)\le 1$, donc $f(x)\le 2$. Il y a égalité si et seulement si les deux cosinus valent $1$ simultanément, c'est-à-dire $$x\in 2\pi \mathbb{Z}\text{et}\sqrt{2}x\in 2\pi \mathbb{Z}.$$ Supposons $x\ne 0$ et ces deux conditions vérifiées : $x=2\pi k$ avec $k\in \mathbb{Z}$, $k\ne 0$, et $\sqrt{2}x=2\pi m$ avec $m\in \mathbb{Z}$. Alors $2\pi k\sqrt{2}=2\pi m$, d'où $\sqrt{2}=\frac{m}{k}$ : un rationnel. Contradiction. Donc $f(x)=2$ si et seulement si $x=0$ (et $f(0)=1+1=2$ effectivement).

b) Aucune période. Supposons, par l'absurde, que $f$ soit $T$-périodique pour un $T>0$. Alors $f(T)=f(0+T)=f(0)=2$, donc, par le a), $T=0$ : contradiction. $f$ n'est pas périodique. Et pourtant chacun des deux termes l'est — de périodes $2\pi$ et $\frac{2\pi }{\sqrt{2}}=\pi \sqrt{2}$ — ce qui montre que la somme de deux fonctions périodiques n'est pas périodique en général.

Le point délicat. Il ne suffit pas de dire « les deux périodes sont incommensurables » : c'est une intuition, pas une preuve. La preuve passe par le maximum : une période $T$ transporterait le point $0$, où le maximum est atteint, en un point $T\ne 0$ où il devrait l'être aussi, et l'irrationalité de $\sqrt{2}$ interdit un tel point.

c) Le cas général. Si $\frac{a}{b}\in \mathbb{Q}$. Écrivons $\frac{a}{b}=\frac{p}{q}$ avec $p,q\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, et posons $T=\frac{2\pi p}{a}=\frac{2\pi q}{b}$ (les deux valeurs sont égales, car $\frac{p}{a}=\frac{q}{b}$). Alors $aT=2\pi p$ et $bT=2\pi q$ sont des multiples de $2\pi$, donc pour tout $x$, $$g(x+T)=\cos (ax+2\pi p)+\cos (bx+2\pi q)=\cos (ax)+\cos (bx)=g(x):$$ $g$ est $T$-périodique.

Réciproquement, si $g$ est $T$-périodique avec $T>0$, alors $g(T)=g(0)=2$, donc $\cos (aT)=\cos (bT)=1$, donc $aT=2\pi m$ et $bT=2\pi n$ avec $m,n\in \mathbb{Z}$ ; comme $aT>0$ et $bT>0$, on a $m,n\ge 1$, et $\frac{a}{b}=\frac{aT}{bT}=\frac{m}{n}\in \mathbb{Q}$. $g$ est périodique si et seulement si $\frac{a}{b}$ est rationnel, et le a)–b) en est le cas $a=1$, $b=\sqrt{2}$. (La période trouvée n'est pas toujours la plus petite ; la plus petite est $\frac{2\pi p}{a}$ lorsque $\frac{p}{q}$ est la fraction irréductible, ce qu'on pourrait démontrer avec l'arithmétique du chapitre 7.)

Ce que l'exercice installe. Pour étudier la périodicité d'une fonction, on ne cherche pas une période « à vue » : on cherche un point remarquable — un maximum, un zéro isolé — et l'on regarde si la fonction peut le reproduire ailleurs. Et l'on retiendra le fait, qui reviendra en physique avec les battements de l'exercice 9 : deux oscillations de périodes de rapport irrationnel ne se recomposent jamais exactement.