$e^{\pi }$ contre ${\pi }^e$, et les entiers tels que $m^n=n^m$

La stratégie : une comparaison de puissances devient une comparaison de valeurs d'une seule fonction. Pour $a,b>0$, les nombres $a^b$ et $b^a$ sont strictement positifs, et le logarithme est strictement croissant : comparer $a^b$ et $b^a$, c'est comparer $b\ln a$ et $a\ln b$, c'est-à-dire, après division par $ab>0$, comparer $\frac{\ln a}{a}$ et $\frac{\ln b}{b}$. Toute la question tient donc dans les variations de $\phi$. Ce qu'on a le droit d'utiliser : les dérivées de $\ln$ et d'un quotient, la stricte monotonie par le signe de la dérivée, et $\ln e=1$.

L'étude de $\phi$. Sur $]0,+\infty [$, $${\phi }^{\prime }(x)=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln x}{x^2}=\frac{1-\ln x}{x^2},$$ du signe de $1-\ln x$, c'est-à-dire positif pour $x<e$, nul en $x=e$, négatif pour $x>e$. Donc $\phi$ est strictement croissante sur $]0,e]$ et strictement décroissante sur $[e,+\infty [$ (la dérivée ne s'annule qu'en un point), avec un maximum $\phi (e)=\frac{1}{e}$.

a) $e^{\pi }$ contre ${\pi }^e$. On a $e\approx 2,718<\pi \approx 3,142$, et les deux nombres sont dans $[e,+\infty [$, où $\phi$ est strictement décroissante. Donc $$\phi (e)>\phi (\pi )⟺\frac{\ln e}{e}>\frac{\ln \pi }{\pi }⟺\pi \ln e>e\ln \pi ⟺\ln \left(e^{\pi }\right)>\ln \left({\pi }^e\right)⟺e^{\pi }>{\pi }^e,$$ la dernière équivalence par stricte croissance du logarithme. $e^{\pi }>{\pi }^e$. (Numériquement, $e^{\pi }\approx 23,14$ et ${\pi }^e\approx 22,46$ : l'écart est mince, et une calculatrice à deux chiffres ne trancherait pas — d'où l'intérêt d'une preuve.)

b) Les couples $m^n=n^m$. Par le même calcul, pour des entiers $1\le m<n$, $$m^n=n^m⟺n\ln m=m\ln n⟺\phi (m)=\phi (n).$$ Supposons $\phi (m)=\phi (n)$ avec $m<n$.

Le point délicat : $e$ doit séparer $m$ et $n$. Si $m$ et $n$ étaient tous deux dans $]0,e]$, la stricte croissance de $\phi$ y donnerait $\phi (m)<\phi (n)$ ; s'ils étaient tous deux dans $[e,+\infty [$, la stricte décroissance donnerait $\phi (m)>\phi (n)$. Dans les deux cas, contradiction. Donc nécessairement $$m<e<n.$$ C'est cette ligne qui rend le problème fini : les seuls entiers $m\ge 1$ strictement inférieurs à $e\approx 2,718$ sont $m=1$ et $m=2$.

• $m=1$ : $\phi (1)=0$, et $\phi (n)=0$ impose $\ln n=0$, soit $n=1$, exclu par $m<n$. Aucun couple.
• $m=2$ : $\phi (2)=\frac{\ln 2}{2}=\frac{2\ln 2}{4}=\frac{\ln 4}{4}=\phi (4)$. Donc $n=4$ convient. Et c'est le seul : $\phi$ est strictement décroissante sur $[e,+\infty [$, donc injective sur cet intervalle, et au plus un $n>e$ vérifie $\phi (n)=\phi (2)$.

Le couple $(m,n)=(2,4)$ est l'unique solution, et en effet $2^4=16=4^2$.

Ce que l'exercice installe. Devant $a^b$ contre $b^a$, le réflexe est le logarithme, puis la division par $ab$ : la comparaison devient celle de deux valeurs de $\frac{\ln x}{x}$, dont le maximum en $e$ explique tout. C'est aussi un premier raisonnement de finitude : une fonction strictement monotone sur chacun de deux intervalles ne prend une même valeur qu'au plus deux fois, une fois de chaque côté — et si l'un des côtés ne contient qu'un nombre fini d'entiers, l'équation n'a qu'un nombre fini de solutions entières.