Encadrement du logarithme

Application directe du cours · niveau 2 · mathématiques MPSI, chapitre 4 — Calcul différentiel et intégral · C. Exponentielle, logarithmes, puissances

Énoncé

Montrer que pour tout $x > - 1$ : $\frac{x}{1 + x} \leq ln (1 + x) \leq x .$

Corrigé

Majoration. Posons $g (x) = x - ln (1 + x)$ sur $] - 1, + \infty [$ : $g^{'} (x) = 1 - \frac{1}{1 + x} = \frac{x}{1 + x}$ , négative sur $] - 1, 0]$ , positive sur $[0, + \infty [$ . Donc $g$ atteint son minimum en $0$ , où $g (0) = 0$ : $g \geq 0$ .

Minoration. Posons $h (x) = ln (1 + x) - \frac{x}{1 + x}$ : $h^{'} (x) = \frac{1}{1 + x} - \frac{1}{( 1 + x ) ^{2}} = \frac{x}{( 1 + x ) ^{2}},$ même signe que ci-dessus, même conclusion : $h \geq h (0) = 0$ . (Ces deux inégalités encadrent $ln (1 + x)$ entre l'homographie $\frac{x}{1 + x}$ et sa tangente en $0$ , d'équation $y = x$ ; elles servent constamment dans l'étude des suites du type $(1 + \frac{1}{n})^{n}$ .)

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.