Encadrement du logarithme

Majoration. Posons $g(x)=x-\ln (1+x)$ sur $]-1,+\infty [$ : $g^{\prime }(x)=1-\frac{1}{1+x}=\frac{x}{1+x}$, négative sur $]-1,0]$, positive sur $[0,+\infty [$. Donc $g$ atteint son minimum en $0$, où $g(0)=0$ : $g\ge 0$.

Minoration. Posons $h(x)=\ln (1+x)-\frac{x}{1+x}$ : $$h^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x}-\frac{1}{(1+x{)}^2}=\frac{x}{(1+x{)}^2},$$ même signe que ci-dessus, même conclusion : $h\ge h(0)=0$. (Ces deux inégalités encadrent $\ln (1+x)$ entre l'homographie $\frac{x}{1+x}$ et sa tangente en $0$, d'équation $y=x$ ; elles servent constamment dans l'étude des suites du type ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$.)