L'équation fonctionnelle de l'exponentielle

La stratégie : analyse-synthèse, et une équation différentielle. On suppose $f$ solution, on évalue la relation en des points bien choisis, on la dérive par rapport à l'une des variables en figeant l'autre : elle devient une équation différentielle linéaire du premier ordre, dont le problème de Cauchy a une solution unique. Puis on vérifie que les fonctions trouvées conviennent. Ce qu'on a le droit d'utiliser : le théorème d'existence et d'unicité du problème de Cauchy pour $y^{\prime }=ay$, et la dérivation d'une composée.

a) Trois faits. $f(0)=1$. Faisons $x=y=0$ : $f(0)=f(0{)}^2$, donc $f(0)(f(0)-1)=0$, donc $f(0)\in \{0,1\}$. Si $f(0)=0$, alors pour tout $x$, $f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)=0$ : $f$ serait identiquement nulle, ce qui est exclu. Donc $f(0)=1$. C'est ici, et seulement ici, que sert l'hypothèse « non identiquement nulle » : sans elle, la fonction nulle serait une solution, et la conclusion « $f=e^{ax}$ » serait fausse.

$f$ ne s'annule pas. Pour tout $x$, $f(x)f(-x)=f(x+(-x))=f(0)=1$ : un produit égal à $1$ n'a pas de facteur nul, donc $f(x)\ne 0$ — et même $f(-x)=\frac{1}{f(x)}$.

$f>0$. Pour tout $x$, $f(x)=f\left(\frac{x}{2}+\frac{x}{2}\right)=f{\left(\frac{x}{2}\right)}^2\ge 0$ ; joint à $f(x)\ne 0$, cela donne $f(x)>0$.

b) L'équation différentielle. Fixons $x$, et considérons la relation $f(x+y)=f(x)f(y)$ comme une égalité entre deux fonctions de $y$. Elles sont dérivables : à gauche, $y\mapsto f(x+y)$ est la composée de $f$ par la translation $y\mapsto x+y$, de dérivée $f^{\prime }(x+y)$ ; à droite, $f(x)$ est une constante. En dérivant par rapport à $y$ : $$f^{\prime }(x+y)=f(x)f^{\prime }(y).$$ Évaluons en $y=0$ : $f^{\prime }(x)=f(x)f^{\prime }(0)$. Ceci vaut pour tout $x$ : en posant $a=f^{\prime }(0)$, $$f^{\prime }=af.$$

c) Résolution par l'unicité de Cauchy. La fonction $f$ est solution sur $\mathbb{R}$ du problème de Cauchy $$y^{\prime }=ay,y(0)=1.$$ Or ce problème a une solution unique (théorème du cours), et la fonction $x\mapsto e^{ax}$ en est une : sa dérivée est $a{e}^{ax}$, et sa valeur en $0$ est $1$. Donc $f(x)=e^{ax}$ pour tout $x$. (Sans invoquer le théorème : $g(x)=f(x)e^{-ax}$ a pour dérivée $(f^{\prime }(x)-af(x))e^{-ax}=0$ sur l'intervalle $\mathbb{R}$, donc $g$ est constante, égale à $g(0)=1$ — c'est la démonstration du théorème, refaite dans ce cas.)

Synthèse. Réciproquement, pour tout $a\in \mathbb{R}$, la fonction $x\mapsto e^{ax}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, non identiquement nulle, et vérifie $e^{a(x+y)}=e^{ax}{e}^{ay}$ : elle est solution, et $f^{\prime }(0)=a$ est cohérent. Les solutions sont exactement les $x\mapsto e^{ax}$, $a\in \mathbb{R}$. Contrôle : $a=\ln 2$ donne $f(x)=2^x$, qui vérifie bien $2^{x+y}=2^x{2}^y$ ; $a=0$ donne la constante $1$, seule solution constante non nulle.

Le point délicat. Dériver « par rapport à $y$ » une relation à deux variables demande de dire clairement ce qui est fixe et ce qui varie ; puis c'est le choix $y=0$ qui fait apparaître la constante $f^{\prime }(0)$ et transforme la relation en équation différentielle linéaire à coefficient constant. Et l'analyse ne donne qu'une condition nécessaire : la synthèse est indispensable, comme dans toute analyse-synthèse.

d) L'équation additive. Soit $g$ dérivable avec $g(x+y)=g(x)+g(y)$. Analyse. Avec $x=y=0$ : $g(0)=2g(0)$, donc $g(0)=0$. Fixons $x$ et dérivons par rapport à $y$ : $g^{\prime }(x+y)=g^{\prime }(y)$ ; en $y=0$ : $g^{\prime }(x)=g^{\prime }(0)$ pour tout $x$. Posons $a=g^{\prime }(0)$ : la fonction $x\mapsto g(x)-ax$ a une dérivée nulle sur l'intervalle $\mathbb{R}$, donc est constante, égale à sa valeur en $0$, qui est $g(0)=0$. Donc $g(x)=ax$. Synthèse. Toute fonction $x\mapsto ax$ est dérivable et vérifie $a(x+y)=ax+ay$. Les solutions sont exactement les fonctions linéaires $x\mapsto ax$.

Le lien entre les deux. Si $f>0$ vérifie l'équation multiplicative, alors $g=\ln \circ f$ vérifie l'équation additive : $\ln f(x+y)=\ln (f(x)f(y))=\ln f(x)+\ln f(y)$ ; et $g$ est dérivable comme composée. Le d) donne $\ln f(x)=ax$, soit $f(x)=e^{ax}$ : une seconde démonstration du c), où le logarithme remplace l'équation différentielle. (Sans l'hypothèse de dérivabilité — ni même de continuité — il existe d'autres solutions de l'équation additive, qu'on ne peut pas écrire : c'est hors programme, et c'est pourquoi l'énoncé demande « dérivable ».)

Ce que l'exercice installe. L'exponentielle n'est pas seulement une fonction qui change les sommes en produits : c'est la seule, parmi les fonctions dérivables non nulles — une caractérisation fonctionnelle, qui explique pourquoi on la retrouve partout où « ce qui se passe sur une durée $x+y$ est le produit de ce qui se passe sur $x$ et sur $y$ » : intérêts composés, désintégration, absorption. Et la méthode — évaluer en un point, dériver par rapport à une variable, reconnaître un problème de Cauchy — est le canevas de tous les exercices d'équations fonctionnelles, et le premier usage de l'unicité comme outil de démonstration.