mathématiques MPSI · Chapitre 4 · Exercice de TD

L'équation fonctionnelle de l'exponentielle

Calcul différentiel et intégral · F. Équations différentielles du premier ordre · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soit $f : R \to R$ dérivable, non identiquement nulle, telle que $f (x + y) = f (x) f (y)$ pour tous réels $x, y$ .

a) Montrer que $f (0) = 1$ , puis que $f$ ne s'annule pas et que $f > 0$ (on écrira $f (x) = f (\frac{x}{2})^{2}$ ).

b) En dérivant la relation par rapport à $y$ puis en prenant $y = 0$ , montrer que $f^{'} = f^{'} (0) f$ .

c) En déduire que $f (x) = e^{a x}$ avec $a = f^{'} (0)$ , et vérifier réciproquement.

d) Déterminer de même les fonctions dérivables $g : R \to R$ telles que $g (x + y) = g (x) + g (y)$ pour tous $x, y$ .

Corrigé de la question 1

La stratégie : analyse-synthèse, et une équation différentielle. On suppose $f$ solution, on évalue la relation en des points bien choisis, on la dérive par rapport à l'une des variables en figeant l'autre : elle devient une équation différentielle linéaire du premier ordre, dont le problème de Cauchy a une solution unique. Puis on vérifie que les fonctions trouvées conviennent. Ce qu'on a le droit d'utiliser : le théorème d'existence et d'unicité du problème de Cauchy pour $y^{'} = a y$ , et la dérivation d'une composée.

a) Trois faits. $f (0) = 1$ . Faisons $x = y = 0$ : $f (0) = f (0)^{2}$ , donc $f (0) (f (0) - 1) = 0$ , donc $f (0) \in {0, 1}$ . Si $f (0) = 0$ , alors pour tout $x$ , $f (x) = f (x + 0) = f (x) f (0) = 0$ : $f$ serait identiquement nulle, ce qui est exclu. Donc $f (0) = 1$ . C'est ici, et seulement ici, que sert l'hypothèse « non identiquement nulle » : sans elle, la fonction nulle serait une solution, et la conclusion « $f = e^{a x}$ » serait fausse.

$f$ ne s'annule pas. Pour tout $x$ , $f (x) f (- x) = f (x + (- x)) = f (0) = 1$ : un produit égal à $1$ n'a pas de facteur nul, donc $f (x) \neq = 0$ — et même $f (- x) = \frac{1}{f ( x )}$ .

$f > 0$ . Pour tout $x$ , $f (x) = f (\frac{x}{2} + \frac{x}{2}) = f (\frac{x}{2})^{2} \geq 0$ ; joint à $f (x) \neq = 0$ , cela donne $f (x) > 0$ .

Question 2 : comment l'IA t'aide

b) En dérivant la relation par rapport à $y$ puis en prenant $y = 0$ , montrer que $f^{'} = f^{'} (0) f$ .

Élève

Je ne vois pas bien ce que veut dire « dériver par rapport à $y$ » : $f$ est une fonction d'une seule variable, et la relation $f (x + y) = f (x) f (y)$ en fait intervenir deux.

Fixe $x$ : les deux membres deviennent alors des fonctions de la seule variable $y$ , égales sur tout $R$ . Lesquelles exactement, et pourquoi sont-elles dérivables ?

Élève

À gauche, $y \mapsto f (x + y)$ , composée de $f$ et d'une translation ; à droite, $y \mapsto f (x) f (y)$ , où $f (x)$ joue le rôle d'une constante. Deux fonctions égales ont la même dérivée.

Écris cette égalité des dérivées en un $y$ quelconque, en dérivant soigneusement la composée. Que devient-elle quand tu prends $y = 0$ , et pourquoi le résultat vaut-il pour tout réel $x$ ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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