Les inégalités de Jordan

La stratégie : une seule idée, la concavité. Le sinus est de classe ${\mathcal{C}}^2$ et ${\sin }^{\prime \prime }=-\sin \le 0$ sur $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ : le sinus est concave sur $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$. Or la courbe d'une fonction concave sur un intervalle est au-dessous de chacune de ses tangentes et au-dessus de chacune de ses cordes. Les deux inégalités demandées sont exactement ces deux positions, lues sur deux droites bien choisies : pas d'étude de fonction à faire.

a) La tangente en $0$. La tangente en $0$ à la courbe du sinus a pour équation $y=\sin 0+\cos 0\cdot x=x$. Par concavité, la courbe est au-dessous de sa tangente sur $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ : $$\forall x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right],\sin x\le x.$$ (Sans la concavité : $u(x)=x-\sin x$ a pour dérivée $1-\cos x\ge 0$, donc $u$ est croissante et $u(x)\ge u(0)=0$ ; c'est la preuve du cours de $|\sin x|\le |x|$, valable sur $\mathbb{R}$ tout entier.)

b) La corde. La corde qui joint les points $(0,0)$ et $\left(\frac{\pi }{2},1\right)$ de la courbe a pour pente $\frac{1-0}{\frac{\pi }{2}-0}=\frac{2}{\pi }$, donc pour équation $y=\frac{2}{\pi }x$. Par concavité, la courbe est au-dessus de sa corde entre les deux points qui la définissent : $$\forall x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right],\frac{2}{\pi }x\le \sin x.$$ D'où l'encadrement, sur tout l'intervalle : $$\forall x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right],\frac{2}{\pi }x\le \sin x\le x.$$

Le point délicat : où la concavité s'applique. La position par rapport à une corde ne vaut qu'entre les deux points qui la définissent, celle par rapport à une tangente que sur l'intervalle de concavité : ici $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ pour les deux. Au-delà de $\frac{\pi }{2}$ la corde repasse au-dessus de la courbe (en $\pi$ : $\frac{2}{\pi }\cdot \pi =2>0=\sin \pi$), et sur $\left[\pi ,2\pi \right]$ le sinus est convexe. Un argument de concavité s'accompagne toujours de son intervalle.

Contrôle. Pour $x=\frac{\pi }{6}$ : $\frac{2}{\pi }\cdot \frac{\pi }{6}=\frac{1}{3}\approx 0,333$, $\sin \frac{\pi }{6}=0,5$, $\frac{\pi }{6}\approx 0,524$ : l'encadrement est vérifié. Aux deux bouts il devient égalité : en $0$ pour les deux inégalités (la tangente et la corde y touchent la courbe), en $\frac{\pi }{2}$ pour celle de gauche ($\frac{2}{\pi }\cdot \frac{\pi }{2}=1=\sin \frac{\pi }{2}$). L'encadrement est donc optimal : aucune des deux constantes ne peut être améliorée.

c) L'interprétation, et l'extension. L'interprétation est la preuve elle-même : $y=x$ est la tangente en $0$, $y=\frac{2}{\pi }x$ la corde de $0$ à $\frac{\pi }{2}$, et sur $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ la courbe du sinus, concave, s'y tient entre les deux — sous la tangente, sur la corde.

Sur $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$. Le sinus et $x\mapsto x$ sont impairs : pour $x\in \left[-\frac{\pi }{2},0\right]$, on applique l'encadrement à $-x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ et l'on change les signes, ce qui renverse les inégalités : $x\le \sin x\le \frac{2}{\pi }x$. Sous forme compacte, valable sur tout $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ : $$\frac{2}{\pi }|x|\le |\sin x|\le |x|.$$

Ce que l'exercice installe. Le réflexe « une inégalité entre une fonction et une droite, c'est une position par rapport à une tangente ou à une corde » : dès que la dérivée seconde a un signe sur l'intervalle, l'inégalité se lit sur la figure et se démontre en une ligne — là où une étude de fonction demanderait de dériver deux fois. L'inégalité $\sin x\ge \frac{2}{\pi }x$ elle-même, l'inégalité de Jordan, est l'outil des majorations d'intégrales trigonométriques en deuxième année.