Les intégrales de Wallis

La stratégie : une intégration par parties qui fabrique une récurrence. On isole un facteur $\sin t$ pour l'intégrer, on dérive ${\sin }^{n-1}t$, et l'identité ${\cos }^2=1-{\sin }^2$ ramène tout aux $I_n$. Ce qu'on a le droit d'utiliser : la formule d'intégration par parties, la positivité et la croissance de l'intégrale, et une récurrence.

a) La relation de récurrence. Soit $n\ge 2$. Écrivons ${\sin }^{n}t={\sin }^{n-1}t\cdot \sin t$, et intégrons par parties avec $u(t)={\sin }^{n-1}t$, $v^{\prime }(t)=\sin t$, donc $u^{\prime }(t)=(n-1){\sin }^{n-2}t\cos t$ et $v(t)=-\cos t$ : $$I_n=[-{\sin }^{n-1}t\cos t{]}_0^{\pi /2}+(n-1){\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{n-2}t{\cos }^{2}t\mathrm{d}t.$$ Le terme tout intégré s'annule aux deux bornes, pour deux raisons différentes — et c'est là que sert l'hypothèse $n\ge 2$ : en $t=\frac{\pi }{2}$, c'est $\cos t=0$ ; en $t=0$, c'est ${\sin }^{n-1}t=0$, ce qui exige $n-1\ge 1$. Pour $n=1$, ${\sin }^{0}t=1$ ne s'annule pas en $0$, le crochet vaudrait $1$, et la relation serait fausse. Il reste, avec ${\cos }^{2}t=1-{\sin }^{2}t$ : $$I_n=(n-1){\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{n-2}t(1-{\sin }^{2}t)\mathrm{d}t=(n-1)(I_{n-2}-I_n),$$ d'où $I_n+(n-1)I_n=(n-1)I_{n-2}$, c'est-à-dire $$n{I}_n=(n-1)I_{n-2}(n\ge 2).$$

Les six premières valeurs. L'amorce se calcule à la main : $I_0={\int }_0^{\pi /2}\mathrm{d}t=\frac{\pi }{2}$ et $I_1={\int }_0^{\pi /2}\sin t\mathrm{d}t=[-\cos t{]}_0^{\pi /2}=1$. Puis la récurrence $I_n=\frac{n-1}{n}{I}_{n-2}$ déroule deux suites, paire et impaire, qui ne se mélangent jamais : $I_2=\frac{1}{2}{I}_0=\frac{\pi }{4}$, $I_3=\frac{2}{3}{I}_1=\frac{2}{3}$, $I_4=\frac{3}{4}{I}_2=\frac{3\pi }{16}$, $I_5=\frac{4}{5}{I}_3=\frac{8}{15}$. Numériquement : $1,5708$ ; $1$ ; $0,7854$ ; $0,6667$ ; $0,5890$ ; $0,5333$ — une suite qui décroît, ce que le b) va démontrer.

b) Monotonie et signe. Sur $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$, $0\le \sin t\le 1$, donc ${\sin }^{n+1}t\le {\sin }^{n}t$ pour tout $n$ ; l'intégrale conserve les inégalités entre fonctions, donc $I_{n+1}\le I_n$ : $(I_n)$ est décroissante. Elle est strictement positive, par la récurrence du a) : $I_0=\frac{\pi }{2}>0$, $I_1=1>0$, et si $I_{n-2}>0$ alors $I_n=\frac{n-1}{n}{I}_{n-2}>0$ ; de proche en proche, tous les $I_n$ sont strictement positifs. (Le chapitre de l'intégration donnera l'argument direct : l'intégrale d'une fonction continue, positive et non identiquement nulle est strictement positive.)

c) Un invariant. Multiplions la relation $n{I}_n=(n-1)I_{n-2}$ par $I_{n-1}$ : $$n{I}_n{I}_{n-1}=(n-1)I_{n-1}{I}_{n-2}.$$ Posons $J_n=(n+1)I_{n+1}{I}_n$ ; la relation s'écrit $J_{n-1}=J_{n-2}$ pour tout $n\ge 2$, c'est-à-dire $J_{n+1}=J_n$ pour tout $n\ge 0$ : la suite $(J_n)$ est constante, égale à $J_0=1\cdot I_1{I}_0=\frac{\pi }{2}$. Donc $$I_n{I}_{n+1}=\frac{\pi }{2(n+1)}.$$ Contrôles. $I_1{I}_2=\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2\cdot 2}$ ; $I_2{I}_3=\frac{\pi }{4}\cdot \frac{2}{3}=\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2\cdot 3}$ ; $I_4{I}_5=\frac{3\pi }{16}\cdot \frac{8}{15}=\frac{\pi }{10}$.

Le point délicat. La récurrence relie $I_n$ à $I_{n-2}$, pas à $I_{n-1}$ : les termes pairs et impairs vivent séparément, les uns multiples rationnels de $\pi$, les autres rationnels. C'est le produit $I_n{I}_{n+1}$ de deux termes consécutifs — un pair, un impair — qui les relie, et il est remarquablement simple.

d) Les formules closes. Termes pairs. Par récurrence sur $p$. Pour $p=0$ : $\frac{0!}{2^0\cdot 1}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{2}=I_0$. Si la formule vaut au rang $p$, alors, par le a) avec $n=2p+2$, $$I_{2p+2}=\frac{2p+1}{2p+2}{I}_{2p}=\frac{2p+1}{2p+2}\cdot \frac{(2p)!}{2^{2p}(p!{)}^2}\cdot \frac{\pi }{2}.$$ Or $\frac{(2p+2)!}{2^{2p+2}((p+1)!{)}^2}=\frac{(2p+2)(2p+1)(2p)!}{4\cdot 2^{2p}(p+1{)}^2(p!{)}^2}=\frac{(2p+1)}{2(p+1)}\cdot \frac{(2p)!}{2^{2p}(p!{)}^2}$, en simplifiant $\frac{2p+2}{4(p+1{)}^2}=\frac{1}{2(p+1)}$ ; et $\frac{2p+1}{2(p+1)}=\frac{2p+1}{2p+2}$. C'est bien la formule au rang $p+1$.

Termes impairs. Pour $p=0$ : $\frac{1\cdot 1}{1!}=1=I_1$. Si la formule vaut au rang $p$, alors avec $n=2p+3$, $$I_{2p+3}=\frac{2p+2}{2p+3}{I}_{2p+1}=\frac{2p+2}{2p+3}\cdot \frac{2^{2p}(p!{)}^2}{(2p+1)!},$$ et $\frac{2^{2p+2}((p+1)!{)}^2}{(2p+3)!}=\frac{4(p+1{)}^2}{(2p+3)(2p+2)}\cdot \frac{2^{2p}(p!{)}^2}{(2p+1)!}=\frac{2(p+1)}{2p+3}\cdot \frac{2^{2p}(p!{)}^2}{(2p+1)!}$, et $\frac{2(p+1)}{2p+3}=\frac{2p+2}{2p+3}$. C'est la formule au rang $p+1$. Contrôles : $p=2$ donne $I_4=\frac{24}{16\cdot 4}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{3\pi }{16}$ et $I_5=\frac{16\cdot 4}{120}=\frac{8}{15}$.

Ce que l'exercice installe. Deux choses. D'abord le procédé : une intégrale dépendant d'un entier $n$ se traite en fabriquant, par intégration par parties, une relation entre $I_n$ et $I_{n-1}$ ou $I_{n-2}$ — c'est le seul outil disponible avant les développements limités, et il reviendra pour $\int x^n{e}^{-x}$, pour ${\int }_0^1(1-t^2{)}^n$, et pour la formule de Taylor avec reste intégral. Ensuite le fait remarquable : les $I_{2p}$ sont des multiples rationnels de $\pi$, les $I_{2p+1}$ des rationnels, et la décroissance jointe à $I_n{I}_{n+1}=\frac{\pi }{2(n+1)}$ encadre $\frac{\pi }{2}$ par des rationnels : c'est le produit de Wallis, $\frac{\pi }{2}=\lim \frac{2\cdot 2\cdot 4\cdot 4\cdots }{1\cdot 3\cdot 3\cdot 5\cdots }$, première formule de l'histoire donnant $\pi$ par une suite de rationnels — la limite sera l'affaire du chapitre des suites.