Loi de refroidissement de Newton. Un corps de température initiale T₀…

Stratégie : un changement de fonction inconnue ramène le second membre constant à l'équation homogène. C'est le geste standard devant $y^{\prime }=-k(y-c)$ : on pose $\theta =y-c$, l'écart à l'état d'équilibre.

Résolution. Posons $\theta (t)=T(t)-T_{\text{ext}}=T(t)-20$. Comme $T_{\text{ext}}$ est constante, ${\theta }^{\prime }=T^{\prime }$, et l'équation devient $${\theta }^{\prime }=-k\theta ,$$ l'équation homogène la plus simple. Ses solutions sont $\theta (t)=\theta (0)e^{-kt}$, avec $\theta (0)=T_0-20=60$. Donc $$\boxed{T(t)=20+60e^{-kt}}$$ Le corps refroidit exponentiellement vers $20{}^{\circ }\mathrm{C}$, sans jamais l'atteindre : $T(t)\to 20$ quand $t\to +\infty$.

Détermination de $k$. La donnée $T(10)=50$ s'écrit $$20+60e^{-10k}=50⟺e^{-10k}=\frac{30}{60}=\frac{1}{2}⟺-10k=-\ln 2,$$ $$\boxed{k=\frac{\ln 2}{10}\approx 0,0693{\text{min}}^{-1}}$$ (Autrement dit, l'écart à la température de la pièce est divisé par deux toutes les $10$ minutes : $\frac{\ln 2}{k}$ est une demi-vie, exactement comme pour la désintégration radioactive.)

Quand atteint-on $30{}^{\circ }\mathrm{C}$ ? $$20+60e^{-kt}=30⟺e^{-kt}=\frac{10}{60}=\frac{1}{6}⟺t=\frac{\ln 6}{k}=\frac{10\ln 6}{\ln 2}=10{\log }_{2}6.$$ $$\boxed{t=10{\log }_{2}6\approx 25,85\text{min}}\text{soit environ }25\text{min}51\text{s}.$$

⚠️ Le point délicat : ce qui décroît de moitié, c'est l'écart, pas la température. La tentation est de raisonner « $80\to 50$ en $10$ min, donc $50\to 20$ en $10$ min de plus ». C'est faux : la loi est linéaire en $\theta =T-20$, pas en $T$. L'écart passe de $60$ à $30$ en $10$ min, puis de $30$ à $15$ (donc $T=35$) dans les $10$ suivantes. Et l'unité de $k$ dépend de celle du temps : $0,0693{\text{min}}^{-1}$, pas ${\text{s}}^{-1}$.

Contrôle. $T(0)=20+60=80$ ✓. $T(10)=20+60\cdot \frac{1}{2}=50$ ✓. $T(20)=20+60\cdot \frac{1}{4}=35$ et $T(30)=20+60\cdot \frac{1}{8}=27,5$ : la valeur $30{}^{\circ }\mathrm{C}$ est bien franchie entre $20$ et $30$ minutes, ce qui encadre $25,85$ ✓. Vérification directe : $e^{-k\cdot 25,85}=2^{-2,585}=0,16667=\frac{1}{6}$, donc $T=20+10=30$ ✓.

Ce que l'exercice installe. Devant $y^{\prime }=a(y-y_{\infty })$, on ne cherche pas de solution particulière : on translate l'inconnue. La forme $T=T_{\infty }+(T_0-T_{\infty })e^{-kt}$ — régime permanent plus régime transitoire — est celle de tous les systèmes du premier ordre : refroidissement, charge d'un condensateur, décroissance radioactive, dilution.