mathématiques MPSI · Chapitre 4 · Exercice de TD

Problème — L'inégalité arithmético-géométrique, et les suites qui encadrent $e$

Calcul différentiel et intégral · C. Exponentielle, logarithmes, puissances · niveau 3 (difficile)

Énoncé

1) Étudier les variations de $φ : x \mapsto e^{x} - 1 - x$ sur $R$ . En déduire que $e^{x} \geq 1 + x$ pour tout réel $x$ , avec égalité si et seulement si $x = 0$ , puis que $ln y \leq y - 1$ pour tout $y > 0$ , avec égalité si et seulement si $y = 1$ .

2) Soient $n \in N^{*}$ , $a_{1}, \dots, a_{n}$ des réels strictement positifs et $m = \frac{a _{1} + \dots + a _{n}}{n}$ . En appliquant 1) à $x_{i} = \frac{a _{i}}{m} - 1$ pour chaque $i$ , puis en multipliant les $n$ inégalités, montrer que $n a_{1} a_{2} \dots a_{n} \leq \frac{a _{1} + a _{2} + \dots + a _{n}}{n},$ avec égalité si et seulement si $a_{1} = a_{2} = \dots = a_{n}$ .

3) En déduire que $\frac{n}{\frac{1}{a _{1}} + \dots + \frac{1}{a _{n}}} \leq n a_{1} \dots a_{n}$ , avec le même cas d'égalité.

4) Pour $n \in N^{*}$ , on pose $u_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n}$ . En appliquant 2) aux $n + 1$ réels $1 + \frac{1}{n}, \dots, 1 + \frac{1}{n}, 1$ , montrer que $u_{n} < u_{n + 1}$ .

5) On pose $v_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n + 1}$ . En appliquant 2) aux $n + 2$ réels $\frac{n}{n + 1}, \dots, \frac{n}{n + 1}, 1$ , montrer que $v_{n + 1} < v_{n}$ .

6) Montrer que $\frac{t}{1 + t} \leq ln (1 + t) \leq t$ pour $t > - 1$ , puis que $u_{n} \leq e \leq v_{n}$ pour tout $n$ , et que $0 \leq v_{n} - u_{n} \leq \frac{e}{n}$ . Que peut-on conjecturer ? Énoncer le théorème obtenu.

Corrigé de la question 1

1) L'inégalité fondamentale. La fonction $φ$ est dérivable sur $R$ , de dérivée $φ^{'} (x) = e^{x} - 1$ , strictement négative pour $x < 0$ , nulle en $0$ , strictement positive pour $x > 0$ . Donc $φ$ est strictement décroissante sur $] - \infty, 0]$ et strictement croissante sur $[0, + \infty [$ : elle atteint en $0$ son minimum, $φ (0) = 1 - 1 - 0 = 0$ , et ne l'atteint qu'en $0$ par stricte monotonie de part et d'autre. Ainsi $φ (x) \geq 0$ pour tout $x$ , c'est-à-dire $e^{x} \geq 1 + x, avec e ˊ galit e ˊ si et seulement si x = 0.$ Pour $y > 0$ , posons $x = ln y$ : $e^{l n y} = y \geq 1 + ln y$ , soit $ln y \leq y - 1$ , avec égalité si et seulement si $ln y = 0$ , c'est-à-dire $y = 1$ .

Question 2 : comment l'IA t'aide

Élève

J'applique le 1) : $e^{x_{i}} \geq 1 + x_{i} = \frac{a _{i}}{m}$ , puis je multiplie. À droite j'ai le produit des $a_{i}$ sur $m^{n}$ , mais à gauche il reste $e^{x_{1} + \dots + x_{n}}$ , et je ne vois pas comment m'en débarrasser.

Deux points. Multiplier des inégalités membre à membre demande une hypothèse de signe : est-elle remplie ici ? Ensuite, calcule $\sum x_{i}$ en revenant à la définition de $m$ : que trouves-tu ?

Élève

Tous les membres sont strictement positifs, donc la multiplication est permise. Et $\sum x_{i} = \frac{1}{m} \sum a_{i} - n$ , où je peux remplacer $\sum a_{i}$ grâce à la définition de $m$ .

Une fois l'inégalité large obtenue, reste le cas d'égalité. Si le produit des $a_{i}$ vaut exactement $m^{n}$ , que peux-tu dire de chacune des $n$ inégalités $e^{x_{i}} \geq 1 + x_{i}$ , sachant qu'elles vont toutes dans le même sens entre réels strictement positifs ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Problème — L'inégalité arithmético-géométrique, et les suites qui encadrent e

Énoncé

Corrigé de la question 1

Question 2 : comment l'IA t'aide

Problème — L'inégalité arithmético-géométrique, et les suites qui encadrent $e$