Problème — L'inégalité arithmético-géométrique, et les suites qui encadrent $e$

1) L'inégalité fondamentale. La fonction $\phi$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, de dérivée ${\phi }^{\prime }(x)=e^x-1$, strictement négative pour $x<0$, nulle en $0$, strictement positive pour $x>0$. Donc $\phi$ est strictement décroissante sur $]-\infty ,0]$ et strictement croissante sur $[0,+\infty [$ : elle atteint en $0$ son minimum, $\phi (0)=1-1-0=0$, et ne l'atteint qu'en $0$ par stricte monotonie de part et d'autre. Ainsi $\phi (x)\ge 0$ pour tout $x$, c'est-à-dire $$e^x\ge 1+x,\text{avec eˊgaliteˊ si et seulement si }x=0.$$ Pour $y>0$, posons $x=\ln y$ : $e^{\ln y}=y\ge 1+\ln y$, soit $\ln y\le y-1$, avec égalité si et seulement si $\ln y=0$, c'est-à-dire $y=1$.

2) L'inégalité des moyennes. La moyenne $m$ est strictement positive, et pour chaque $i$, $x_i=\frac{a_i}{m}-1>-1$. Le 1) donne $e^{x_i}\ge 1+x_i=\frac{a_i}{m}$, et les deux membres sont strictement positifs. Multiplions membre à membre ces $n$ inégalités entre réels strictement positifs — ce que la compatibilité de l'ordre avec le produit autorise : $$\prod _{i=1}^n{e}^{x_i}\ge \prod _{i=1}^n\frac{a_i}{m}=\frac{a_1{a}_2\cdots a_n}{m^n}.$$ Or le membre de gauche vaut $e^{x_1+\cdots +x_n}$, et $$\sum _{i=1}^n{x}_i=\sum _{i=1}^n\frac{a_i}{m}-n=\frac{a_1+\cdots +a_n}{m}-n=\frac{nm}{m}-n=0.$$ Donc le membre de gauche vaut $e^0=1$, et $a_1\cdots a_n\le m^n$. La fonction $t\mapsto t^{1/n}$ étant croissante sur ${\mathbb{R}}_{+}$, $$\sqrt[n]{a_1{a}_2\cdots a_n}\le m=\frac{a_1+\cdots +a_n}{n}.$$

Le cas d'égalité. Si tous les $a_i$ sont égaux à une valeur $a$, alors $m=a$, la moyenne géométrique vaut $\sqrt[n]{a^n}=a$ : égalité. Réciproquement, supposons $a_1\cdots a_n=m^n$. Pour chaque $i$, écrivons $e^{x_i}=q_i(1+x_i)$ avec $q_i=\frac{e^{x_i}}{1+x_i}\ge 1$ ; en multipliant, $1=\prod e^{x_i}=\left(\prod q_i\right)\cdot \frac{a_1\cdots a_n}{m^n}=\prod q_i$. Un produit de réels tous supérieurs ou égaux à $1$ n'est égal à $1$ que si chacun vaut $1$ (si l'un dépassait $1$ strictement, le produit dépasserait $1$, les autres facteurs étant au moins $1$). Donc $q_i=1$, c'est-à-dire $e^{x_i}=1+x_i$, donc $x_i=0$ par le 1), donc $a_i=m$, pour tout $i$ : tous les $a_i$ sont égaux.

Le point délicat. Le choix des $x_i$ n'a rien d'arbitraire : il est fait pour que la somme des $x_i$ soit nulle, ce qui rend le produit des exponentielles égal à $1$ ; et pour que $1+x_i$ soit $\frac{a_i}{m}$, dont le produit fait apparaître la moyenne géométrique contre la moyenne arithmétique. Une seule inégalité du cours, appliquée $n$ fois aux bons points, donne un théorème.

3) La moyenne harmonique. Les $\frac{1}{a_i}$ sont strictement positifs ; appliquons-leur le 2) : $$\sqrt[n]{\frac{1}{a_1}\cdots \frac{1}{a_n}}\le \frac{\frac{1}{a_1}+\cdots +\frac{1}{a_n}}{n},\text{c’est-aˋ-dire}\frac{1}{\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}}\le \frac{\frac{1}{a_1}+\cdots +\frac{1}{a_n}}{n}.$$ En inversant ces deux réels strictement positifs, ce qui renverse l'inégalité : $$\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\cdots +\frac{1}{a_n}}\le \sqrt[n]{a_1\cdots a_n},$$ avec égalité si et seulement si les $\frac{1}{a_i}$ sont tous égaux, c'est-à-dire les $a_i$ tous égaux. Les trois moyennes sont donc rangées : harmonique $\le$ géométrique $\le$ arithmétique, avec égalité partout si et seulement si les nombres sont égaux. Contrôle sur $(1,4)$ : harmonique $\frac{2}{1+1/4}=1,6$, géométrique $2$, arithmétique $2,5$.

4) La suite $(u_n)$ croît. Appliquons le 2) aux $n+1$ réels strictement positifs $1+\frac{1}{n}$ (répété $n$ fois) et $1$. Leur moyenne géométrique est ${\left({\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n\cdot 1\right)}^{1/(n+1)}=u_n^{1/(n+1)}$ ; leur moyenne arithmétique est $$\frac{n\left(1+\frac{1}{n}\right)+1}{n+1}=\frac{n+1+1}{n+1}=1+\frac{1}{n+1}.$$ Ces $n+1$ réels ne sont pas tous égaux ($1+\frac{1}{n}\ne 1$), donc l'inégalité est stricte : $u_n^{1/(n+1)}<1+\frac{1}{n+1}$. En élevant à la puissance $n+1$, ce qui conserve l'inégalité stricte entre réels positifs : $$u_n<{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)}^{n+1}=u_{n+1}.$$

5) La suite $(v_n)$ décroît. Appliquons le 2) aux $n+2$ réels $\frac{n}{n+1}$ (répété $n+1$ fois) et $1$. Moyenne géométrique : ${\left({\left(\frac{n}{n+1}\right)}^{n+1}\right)}^{1/(n+2)}={\left(\frac{1}{v_n}\right)}^{1/(n+2)}$, puisque ${\left(\frac{n}{n+1}\right)}^{n+1}=\frac{1}{{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{n+1}}=\frac{1}{v_n}$. Moyenne arithmétique : $$\frac{(n+1)\cdot \frac{n}{n+1}+1}{n+2}=\frac{n+1}{n+2}.$$ Les réels ne sont pas tous égaux, l'inégalité est stricte : ${\left(\frac{1}{v_n}\right)}^{1/(n+2)}<\frac{n+1}{n+2}$, et en élevant à la puissance $n+2$ : $$\frac{1}{v_n}<{\left(\frac{n+1}{n+2}\right)}^{n+2}=\frac{1}{{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)}^{n+2}}=\frac{1}{v_{n+1}},\text{donc}{v}_{n+1}<v_n.$$

6) L'encadrement de $e$. L'encadrement du logarithme. L'inégalité de droite, $\ln (1+t)\le t$, est le 1) avec $y=1+t>0$. Pour celle de gauche, appliquons le 1) à $y=\frac{1}{1+t}>0$ : $\ln \frac{1}{1+t}\le \frac{1}{1+t}-1=\frac{-t}{1+t}$, c'est-à-dire $-\ln (1+t)\le -\frac{t}{1+t}$, soit $\ln (1+t)\ge \frac{t}{1+t}$. Les deux égalités n'ont lieu que pour $t=0$.

L'encadrement. Avec $t=\frac{1}{n}>0$ : $\ln u_n=n\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\le n\cdot \frac{1}{n}=1$, donc $u_n\le e$ (exponentielle croissante) ; et $\ln v_n=(n+1)\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\ge (n+1)\cdot \frac{1/n}{1+1/n}=(n+1)\cdot \frac{1}{n+1}=1$, donc $v_n\ge e$. Ainsi $$u_n\le e\le v_n\text{pour tout }n\ge 1,$$ et même strictement, $t=\frac{1}{n}$ n'étant pas nul. Enfin $v_n=u_n\left(1+\frac{1}{n}\right)$, donc $v_n-u_n=\frac{u_n}{n}\le \frac{e}{n}$, et $v_n-u_n\ge 0$. Contrôle : $u_1=2\le e\le v_1=4$ ; $u_2=2,25\le e\le v_2=3,375$ ; $u_{10}\approx 2,594\le e\approx 2,718\le v_{10}\approx 2,853$.

Ce qu'on peut conjecturer. $(u_n)$ croît, $(v_n)$ décroît, leur différence est majorée par $\frac{e}{n}$, qui devient aussi petite qu'on veut, et $e$ est entre les deux : les deux suites doivent converger vers $e$, et fournir des valeurs approchées par défaut et par excès à $\frac{e}{n}$ près. Le chapitre des suites le démontrera, sous le nom de suites adjacentes ; ici, tout est en place sauf la notion de limite.

Le théorème obtenu — inégalité arithmético-géométrique. Pour tous réels strictement positifs $a_1,\dots ,a_n$ : $$\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\cdots +\frac{1}{a_n}}\le \sqrt[n]{a_1\cdots a_n}\le \frac{a_1+\cdots +a_n}{n},$$ avec égalité, dans l'une ou l'autre, si et seulement si $a_1=\cdots =a_n$. Et la suite ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ est strictement croissante, la suite ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{n+1}$ strictement décroissante, et elles encadrent $e$ à $\frac{e}{n}$ près.

Ce que le problème installe. Deux idées. La première : une inégalité du cours, appliquée en $n$ points choisis pour que les termes se compensent, puis multipliée, donne une inégalité entre $n$ nombres ; et le cas d'égalité se lit sur celui de l'inégalité de départ, un produit de facteurs $\ge 1$ ne valant $1$ que si chacun vaut $1$. La seconde : l'inégalité des moyennes est un outil de monotonie — pour comparer $u_n$ et $u_{n+1}$, on n'a pas calculé de quotient ni de différence, on a choisi $n+1$ nombres dont les moyennes sont exactement $u_n^{1/(n+1)}$ et $u_{n+1}^{1/(n+1)}$. Avec l'exercice 3, la séance a donc deux fois transformé une question sur des puissances en une question sur $\exp$ et $\ln$, où une étude de fonction décide.