Résonance et battements

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La résolution de l'équation homogène par l'équation caractéristique ; la structure des solutions, solution particulière plus solutions de l'homogène ; l'existence et l'unicité du problème de Cauchy au second ordre (admise) ; et, pour le d), la formule $\cos p-\cos q=-2\sin \frac{p+q}{2}\sin \frac{p-q}{2}$. La stratégie est celle du cours : essayer la forme du second membre, et si elle est déjà solution de l'homogène, multiplier par $x$.

a) L'homogène. L'équation caractéristique $r^2+{\omega }_0^2=0$ a pour racines $\pm i{\omega }_0$, complexes conjuguées de partie réelle nulle : les solutions réelles de $y^{\prime \prime }+{\omega }_0^{2}y=0$ sont $$y_h(x)=\lambda \cos ({\omega }_{0}x)+\mu \sin ({\omega }_{0}x),(\lambda ,\mu )\in {\mathbb{R}}^2:$$ l'oscillateur harmonique, de pulsation propre ${\omega }_0$.

b) Hors résonance. Cherchons $y_p(x)=A\cos (\omega x)$. Alors $y_p^{\prime \prime }=-{\omega }^{2}A\cos (\omega x)$, et $$y_p^{\prime \prime }+{\omega }_0^2{y}_p=\left({\omega }_0^2-{\omega }^2\right)A\cos (\omega x).$$ C'est $\cos (\omega x)$ si et seulement si $\left({\omega }_0^2-{\omega }^2\right)A=1$, ce qui, puisque $\omega \ne {\omega }_0$, donne $A=\frac{1}{{\omega }_0^2-{\omega }^2}$. Les solutions de $(E)$ sont donc $$y(x)=\frac{\cos (\omega x)}{{\omega }_0^2-{\omega }^2}+\lambda \cos ({\omega }_{0}x)+\mu \sin ({\omega }_{0}x),(\lambda ,\mu )\in {\mathbb{R}}^2.$$ Remarquons déjà que l'amplitude $\frac{1}{|{\omega }_0^2-{\omega }^2|}$ de la réponse forcée explose quand $\omega$ s'approche de ${\omega }_0$.

c) À la résonance. Si $\omega ={\omega }_0$, toute fonction $A\cos ({\omega }_{0}x)+B\sin ({\omega }_{0}x)$ est solution de l'équation homogène : son image par $y\mapsto y^{\prime \prime }+{\omega }_0^{2}y$ est $0$, jamais $\cos ({\omega }_{0}x)$. La forme du second membre ne peut pas convenir — c'est le cas où le second membre est déjà solution de l'homogène.

Cherchons alors $y_p(x)=xu(x)$ avec $u(x)=A\cos ({\omega }_{0}x)+B\sin ({\omega }_{0}x)$, qui vérifie $u^{\prime \prime }=-{\omega }_0^{2}u$. Par la formule de dérivation d'un produit, $y_p^{\prime }=u+x{u}^{\prime }$ et $y_p^{\prime \prime }=2u^{\prime }+x{u}^{\prime \prime }$, donc $$y_p^{\prime \prime }+{\omega }_0^2{y}_p=2u^{\prime }+x\left(u^{\prime \prime }+{\omega }_0^{2}u\right)=2u^{\prime }=2{\omega }_0\left(-A\sin ({\omega }_{0}x)+B\cos ({\omega }_{0}x)\right).$$ C'est $\cos ({\omega }_{0}x)$ si et seulement si $A=0$ et $2{\omega }_{0}B=1$, soit $B=\frac{1}{2{\omega }_0}$. D'où la solution particulière $y_p(x)=\frac{x\sin ({\omega }_{0}x)}{2{\omega }_0}$, et les solutions de $(E)$ : $$y(x)=\frac{x\sin ({\omega }_{0}x)}{2{\omega }_0}+\lambda \cos ({\omega }_{0}x)+\mu \sin ({\omega }_{0}x).$$ Contrôle avec le cours. Pour ${\omega }_0=1$, on retrouve $\frac{x\sin x}{2}$, la solution particulière obtenue dans le cours par la voie complexe — $z_p=Cx{e}^{ix}$, $C=\frac{1}{2i}$, partie réelle $\frac{x\sin x}{2}$. Les deux voies se valent ; la voie réelle a l'avantage de montrer pourquoi le facteur $x$ marche : le terme $x(u^{\prime \prime }+{\omega }_0^{2}u)$ disparaît parce que $u$ est solution de l'homogène, et il ne reste que $2u^{\prime }$.

d) Le problème de Cauchy. Hors résonance. $y(0)=\frac{1}{{\omega }_0^2-{\omega }^2}+\lambda =0$ donne $\lambda =-\frac{1}{{\omega }_0^2-{\omega }^2}$. Dérivons : $y^{\prime }(x)=-\frac{\omega \sin (\omega x)}{{\omega }_0^2-{\omega }^2}-\lambda {\omega }_0\sin ({\omega }_{0}x)+\mu {\omega }_0\cos ({\omega }_{0}x)$, donc $y^{\prime }(0)=\mu {\omega }_0=0$ et $\mu =0$. La solution est $$y(x)=\frac{\cos (\omega x)-\cos ({\omega }_{0}x)}{{\omega }_0^2-{\omega }^2}.$$ Par la formule $\cos p-\cos q=-2\sin \frac{p+q}{2}\sin \frac{p-q}{2}$ avec $p=\omega x$, $q={\omega }_{0}x$ : $$\cos (\omega x)-\cos ({\omega }_{0}x)=-2\sin \frac{(\omega +{\omega }_0)x}{2}\sin \frac{(\omega -{\omega }_0)x}{2}=2\sin \frac{({\omega }_0+\omega )x}{2}\sin \frac{({\omega }_0-\omega )x}{2},$$ le sinus étant impair. D'où la forme annoncée : $$y(x)=\frac{2}{{\omega }_0^2-{\omega }^2}\sin \frac{({\omega }_0-\omega )x}{2}\sin \frac{({\omega }_0+\omega )x}{2}.$$ Cette solution est bornée : $|y(x)|\le \frac{2}{|{\omega }_0^2-{\omega }^2|}$ pour tout $x$. Lorsque $\omega$ est proche de ${\omega }_0$, le premier sinus, de pulsation $\frac{{\omega }_0-\omega }{2}$ petite, varie lentement : c'est une enveloppe qui module l'amplitude de l'oscillation rapide, de pulsation $\frac{{\omega }_0+\omega }{2}\approx {\omega }_0$. L'amplitude de l'enveloppe, $\frac{2}{|{\omega }_0^2-{\omega }^2|}=\frac{2}{|{\omega }_0-\omega |({\omega }_0+\omega )}$, est grande. Ce sont les battements : l'oscillation enfle et s'éteint périodiquement.

À la résonance. $y(0)=\lambda =0$ ; $y^{\prime }(x)=\frac{\sin ({\omega }_{0}x)}{2{\omega }_0}+\frac{x\cos ({\omega }_{0}x)}{2}+\mu {\omega }_0\cos ({\omega }_{0}x)$, donc $y^{\prime }(0)=\mu {\omega }_0=0$ et $\mu =0$. La solution est $$y(x)=\frac{x\sin ({\omega }_{0}x)}{2{\omega }_0}.$$ Elle n'est pas bornée : aux points $x_k=\frac{\pi /2+2k\pi }{{\omega }_0}$, $k\in \mathbb{N}$, on a $\sin ({\omega }_0{x}_k)=1$ et $y(x_k)=\frac{x_k}{2{\omega }_0}$, qui dépasse tout réel $M$ dès que $k$ est assez grand. L'amplitude croît linéairement : c'est la résonance.

Le passage de l'un à l'autre. Quand $\omega \to {\omega }_0$, la solution des battements s'écrit $\frac{x}{{\omega }_0+\omega }\cdot \frac{\sin \frac{({\omega }_0-\omega )x}{2}}{\frac{({\omega }_0-\omega )x}{2}}\cdot \sin \frac{({\omega }_0+\omega )x}{2}$, et comme $\frac{\sin u}{u}\to 1$ quand $u\to 0$, elle tend, à $x$ fixé, vers $\frac{x\sin ({\omega }_{0}x)}{2{\omega }_0}$ : la résonance est la limite des battements, quand la période de l'enveloppe devient infinie.

Interprétation physique. L'équation modélise un oscillateur sans frottement — masse au bout d'un ressort, circuit $LC$ — de pulsation propre ${\omega }_0$, soumis à une excitation périodique de pulsation $\omega$, et parti du repos. Loin de ${\omega }_0$, la réponse est bornée et de faible amplitude. Près de ${\omega }_0$, l'amplitude devient grande et la réponse bat. À ${\omega }_0$ exactement, chaque période de l'excitation apporte de l'énergie en phase avec le mouvement, l'amplitude croît sans limite dans le modèle — dans la réalité, le frottement ou la rupture l'arrêtent : c'est la résonance des ponts, des verres et des instruments de musique.

Le point délicat. La solution particulière change de forme à la résonance : le facteur $x$ n'est pas une astuce, c'est la conséquence de ce que $i{\omega }_0$ est racine de l'équation caractéristique. Et dans le problème de Cauchy, les deux conditions initiales sont nécessaires : c'est $y^{\prime }(0)=0$ qui tue le terme en $\sin ({\omega }_{0}x)$, que $y(0)=0$ ne voit pas.

Ce que l'exercice installe. Devant un second membre $B\cos (\omega x)$, regarder d'abord si $i\omega$ est racine de l'équation caractéristique : si non, la forme du second membre convient ; si oui, on la multiplie par $x$. Et la formule $\cos p-\cos q$ n'est pas qu'une identité du chapitre précédent : elle lit, dans une différence de deux cosinus, une enveloppe lente et une oscillation rapide. On retrouvera la résonance en physique toute l'année, et l'idée « la forme change quand la fréquence forcée coïncide avec la fréquence propre » dans tous les systèmes linéaires.