Résoudre y'' - 3y' + 2y = e³ˣ, puis y'' - 3y' + 2y = eˣ (attention : 1…

Stratégie : solution générale $=$ solution générale de l'homogène $+$ une solution particulière. Pour un second membre $e^{mx}$, on cherche $y_p=\lambda e^{mx}$ — sauf si $m$ est racine de l'équation caractéristique, auquel cas on cherche $y_p=\lambda x{e}^{mx}$.

L'équation homogène, commune aux deux. L'équation caractéristique $r^2-3r+2=0$ a pour discriminant $9-8=1$ et pour racines $r_1=1$, $r_2=2$. D'où $$y_h(x)=\lambda e^x+\mu e^{2x},(\lambda ,\mu )\in {\mathbb{R}}^2.$$

a) Second membre $e^{3x}$ : $3$ n'est pas racine. Cherchons $y_p=\alpha e^{3x}$ : $$y_p^{\prime \prime }-3y_p^{\prime }+2y_p=\alpha \left(9-9+2\right)e^{3x}=2\alpha e^{3x}.$$ L'identification $2\alpha =1$ donne $\alpha =\frac{1}{2}$, d'où $$\boxed{y(x)=\lambda e^x+\mu e^{2x}+\frac{e^{3x}}{2}}$$ (Le coefficient $2$ obtenu n'est pas un hasard : c'est $P(3)$, où $P(r)=r^2-3r+2$ est le polynôme caractéristique. La règle générale est $\alpha =\frac{1}{P(m)}$ — visiblement inutilisable si $P(m)=0$.)

b) Second membre $e^x$ : $1$ est racine. L'essai $y_p=\alpha e^x$ donne $$\alpha (1-3+2)e^x=0\cdot e^x=0\ne e^x:$$ aucune valeur de $\alpha$ ne convient.

⚠️ Le point délicat, et il n'est pas un accident de calcul. Si $\alpha e^x$ ne peut jamais produire $e^x$, c'est que $e^x$ est solution de l'équation homogène : l'opérateur $y\mapsto y^{\prime \prime }-3y^{\prime }+2y$ l'annule identiquement. Il faut donc sortir de l'espace des solutions homogènes, et le cours prescrit de multiplier par $x$. Le degré $1$ du facteur $x$ vient de ce que $1$ est racine simple ; pour une racine double il faudrait $x^2$.

Cherchons donc $y_p=\alpha x{e}^x$. Alors $$y_p^{\prime }=\alpha (1+x)e^x,y_p^{\prime \prime }=\alpha (2+x)e^x,$$ $$y_p^{\prime \prime }-3y_p^{\prime }+2y_p=\alpha e^x[(2+x)-3(1+x)+2x]=\alpha e^x[2+x-3-3x+2x]=-\alpha e^x.$$ L'identification $-\alpha =1$ donne $\alpha =-1$ : $$\boxed{y(x)=\lambda e^x+\mu e^{2x}-x{e}^x}$$

Contrôle. Prenons $\lambda =\mu =0$ et $y=-x{e}^x$ : $y^{\prime }=-(1+x)e^x$, $y^{\prime \prime }=-(2+x)e^x$. En $x=0$ : $y^{\prime \prime }-3y^{\prime }+2y=-2+3+0=1=e^0$ ✓. En $x=1$ : $y^{\prime \prime }-3y^{\prime }+2y=-3e+6e-2e=e=e^1$ ✓. Pour a), avec $y=\frac{e^{3x}}{2}$ en $x=0$ : $\frac{9-9+2}{2}=1=e^0$ ✓.

Ce que l'exercice installe. Le tableau des seconds membres exponentiels tient en une phrase : on cherche $x^k{e}^{mx}$, où $k$ est la multiplicité de $m$ comme racine de l'équation caractéristique ($k=0$ si $m$ n'est pas racine). Le cas $k⩾1$ porte un nom en physique : la résonance — c'est exactement le phénomène du n° 13, où le second membre $\cos x$ cachait $e^{ix}$, racine de $r^2+1=0$, et où la solution grandissait en $\frac{x\sin x}{2}$.