Un arcsinus qui change de formule

La stratégie : « dériver, comparer, recoller ». Pour identifier une composée de fonctions circulaires réciproques, on montre que sa dérivée coïncide avec celle d'une expression simple sur chaque intervalle, on en déduit l'égalité à une constante près sur cet intervalle, et l'on fixe la constante par une valeur. Ce qu'on a le droit d'utiliser : $\mathrm{Arcsin}$ est définie sur $[-1,1]$, dérivable sur $]-1,1[$ de dérivée $\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$ ; ${\mathrm{Arctan}}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$ ; et deux fonctions dérivables de même dérivée sur un intervalle diffèrent d'une constante.

a) Le domaine. Pour tout réel $x$, $(1-|x|{)}^2\ge 0$ donne $1+x^2\ge 2|x|$, donc $\left|\frac{2x}{1+x^2}\right|\le 1$, avec égalité si et seulement si $|x|=1$ : l'argument atteint $1$ en $x=1$ et $-1$ en $x=-1$, et reste strictement entre $-1$ et $1$ ailleurs. Donc $f$ est définie sur $\mathbb{R}$. Remarquons aussi que $f$ est impaire : $u(x)=\frac{2x}{1+x^2}$ est impaire et $\mathrm{Arcsin}$ aussi.

b) La dérivée. Posons $u(x)=\frac{2x}{1+x^2}$. Alors $$u^{\prime }(x)=\frac{2(1+x^2)-2x\cdot 2x}{(1+x^2{)}^2}=\frac{2(1-x^2)}{(1+x^2{)}^2},1-u(x{)}^2=\frac{(1+x^2{)}^2-4x^2}{(1+x^2{)}^2}=\frac{(1-x^2{)}^2}{(1+x^2{)}^2},$$ d'où $\sqrt{1-u(x{)}^2}=\frac{|1-x^2|}{1+x^2}$ — avec une valeur absolue, car la racine carrée d'un carré est une valeur absolue. Pour $x\ne \pm 1$, $u(x)\in ]-1,1[$, où $\mathrm{Arcsin}$ est dérivable ; par dérivation d'une composée, $$f^{\prime }(x)=\frac{u^{\prime }(x)}{\sqrt{1-u(x{)}^2}}=\frac{2(1-x^2)}{(1+x^2{)}^2}\cdot \frac{1+x^2}{|1-x^2|}=\frac{2}{1+x^2}\cdot \frac{1-x^2}{|1-x^2|}.$$ Le dernier facteur est le signe de $1-x^2$ : $$f^{\prime }(x)=\frac{2}{1+x^2}\text{ si }|x|<1,f^{\prime }(x)=-\frac{2}{1+x^2}\text{ si }|x|>1.$$

c) Les formules, intervalle par intervalle. Sur $]-1,1[$. On a $f^{\prime }=(2\mathrm{Arctan}{)}^{\prime }$ sur cet intervalle, donc $f-2\mathrm{Arctan}$ y est constante. En $x=0$ : $f(0)=\mathrm{Arcsin}0=0=2\mathrm{Arctan}0$, donc la constante est nulle et $f(x)=2\mathrm{Arctan}x$ sur $]-1,1[$. Aux bornes, on vérifie directement : $f(1)=\mathrm{Arcsin}1=\frac{\pi }{2}=2\cdot \frac{\pi }{4}=2\mathrm{Arctan}1$, et de même en $-1$ par imparité. Donc $$f(x)=2\mathrm{Arctan}x\text{pour }|x|\le 1.$$

Sur $]1,+\infty [$. Ici $f^{\prime }=(-2\mathrm{Arctan}{)}^{\prime }$, donc $f+2\mathrm{Arctan}$ est constante sur cet intervalle. Fixons la constante en $x=\sqrt{3}$ : $u(\sqrt{3})=\frac{2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, donc $f(\sqrt{3})=\mathrm{Arcsin}\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi }{3}$, et $2\mathrm{Arctan}\sqrt{3}=\frac{2\pi }{3}$ ; la constante vaut $\frac{\pi }{3}+\frac{2\pi }{3}=\pi$. En $x=1$, directement, $\pi -2\mathrm{Arctan}1=\frac{\pi }{2}=f(1)$. Donc $$f(x)=\pi -2\mathrm{Arctan}x\text{pour }x\ge 1.$$ (On peut aussi fixer la constante par la limite en $+\infty$ : $u(x)\to 0$ donc $f(x)\to 0$, et $-2\mathrm{Arctan}x\to -\pi$ ; on retrouve $\pi$.)

Pour $x\le -1$. Par imparité, $f(x)=-f(-x)=-\left(\pi -2\mathrm{Arctan}(-x)\right)=-\pi -2\mathrm{Arctan}x$.

Contrôles. $x=\frac{1}{2}$ : $u=\frac{1}{1,25}=0,8$, $\mathrm{Arcsin}0,8\approx 0,9273$, et $2\mathrm{Arctan}0,5\approx 2\times 0,4636=0,9273$. $x=2$ : $u=\frac{4}{5}=0,8$ encore, $f(2)\approx 0,9273$, et $\pi -2\mathrm{Arctan}2\approx 3,1416-2,2143=0,9273$.

d) Le raccord : un point anguleux. Les deux formules donnent en $x=1$ la même valeur $\frac{\pi }{2}$ : $f$ est continue en $1$. Mais leurs dérivées valent $\frac{2}{1+1}=1$ à gauche et $-\frac{2}{1+1}=-1$ à droite : les taux d'accroissement de $f$ à gauche et à droite de $1$ ont des limites différentes, $f$ n'est pas dérivable en $1$ — sa courbe y présente un point anguleux, de même en $-1$ par imparité.

L'origine. En $x=1$, l'argument $u(x)$ atteint la valeur $1$, le bord du domaine où $\mathrm{Arcsin}$ est dérivable (sa tangente y est verticale), et simultanément $u$ passe par son maximum et redescend. La composée « rebrousse » : elle monte jusqu'à $\frac{\pi }{2}$, valeur maximale de $\mathrm{Arcsin}$, et redescend. Le signal, dans le calcul, était la valeur absolue $|1-x^2|$ apparue dans $\sqrt{1-u^2}$ : une valeur absolue dans une dérivée annonce toujours un découpage du domaine.

Une lecture qui éclaire tout. On remarque que $u\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{2/x}{1+1/x^2}=\frac{2x}{x^2+1}=u(x)$ pour $x\ne 0$, donc $f\left(\frac{1}{x}\right)=f(x)$ : la courbe est invariante par l'échange $x\leftrightarrow \frac{1}{x}$, qui échange $]0,1[$ et $]1,+\infty [$. Les deux formules se correspondent alors par l'identité $\mathrm{Arctan}x+\mathrm{Arctan}\frac{1}{x}=\frac{\pi }{2}$ pour $x>0$ — qu'on démontre par la même méthode : la dérivée de $x\mapsto \mathrm{Arctan}x+\mathrm{Arctan}\frac{1}{x}$ vaut $\frac{1}{1+x^2}+\frac{-1/x^2}{1+1/x^2}=\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{x^2+1}=0$ sur l'intervalle $]0,+\infty [$, et la valeur en $1$ est $2\cdot \frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$. Ainsi $2\mathrm{Arctan}\frac{1}{x}=\pi -2\mathrm{Arctan}x$, et l'on retrouve la formule sur $]1,+\infty [$ à partir de celle sur $]0,1[$.

Ce que l'exercice installe. Une composée $\mathrm{Arcsin}\circ u$ ou $\mathrm{Arctan}\circ u$ n'a pas une formule unique sur $\mathbb{R}$ : deux fonctions de même dérivée ne diffèrent d'une constante que sur un intervalle, et la constante change d'un intervalle à l'autre. Les points de recollement sont exactement ceux où l'argument atteint le bord $\pm 1$. C'est le premier exemple d'une règle générale : l'hypothèse « intervalle » du théorème de la dérivée nulle n'est pas décorative.