Une identité d'arctangentes — exercice corrigé de maths sup (MPSI/MP2I) (chapitre 4)

Une identité d'arctangentes

Calcul différentiel et intégral · D. Fonctions circulaires réciproques et hyperboliques · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Montrer que pour tout $x > 0$ : $Arctan x + Arctan \frac{1}{x} = \frac{π}{2}$ , puis calculer $Arctan 2 + Arctan 3$ .

Corrigé

Posons $f (x) = Arctan x + Arctan \frac{1}{x}$ sur $] 0, + \infty [$ : $f^{'} (x) = \frac{1}{1 + x ^{2}} + \frac{- \frac{1}{x ^{2}}}{1 + \frac{1}{x ^{2}}} = \frac{1}{1 + x ^{2}} - \frac{1}{x ^{2} + 1} = 0,$ donc $f$ est constante sur l'intervalle, égale à $f (1) = \frac{π}{4} + \frac{π}{4} = \frac{π}{2}$ .

Pour la seconde question, posons $S = Arctan 2 + Arctan 3$ . Chaque terme est dans $] \frac{π}{4}, \frac{π}{2} [$ , donc $S \in] \frac{π}{2}, π [$ . Par la formule d'addition de la tangente : $tan S = \frac{2 + 3}{1 - 2 \times 3} = - 1,$ et le seul angle de $] \frac{π}{2}, π [$ de tangente $- 1$ est $\frac{3 π}{4}$ . Donc $Arctan 2 + Arctan 3 = \frac{3 π}{4}$ .