Borne supérieure d'une somme de parties

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La propriété de la borne supérieure (toute partie non vide majorée de $\mathbb{R}$ admet une borne supérieure), sa caractérisation : $M=\sup X$ si et seulement si $M$ majore $X$ et, pour tout $\epsilon >0$, il existe $x\in X$ tel que $x>M-\epsilon$ ; et le théorème du cours « le sup est limite d'une suite de la partie ». Notons $\alpha =\sup A$ et $\beta =\sup B$, qui existent par la propriété de la borne supérieure.

La stratégie. Une égalité de bornes supérieures se prouve toujours en deux inégalités : la première dit que $\alpha +\beta$ est un majorant, la seconde qu'aucun réel plus petit n'en est un. Ce sont les deux points de la caractérisation, et c'est le geste de tout le chapitre.

a) Un majorant. $A$ et $B$ sont non vides : il existe $a_0\in A$ et $b_0\in B$, donc $a_0+b_0\in A+B$, qui est non vide. Soit $a\in A$ et $b\in B$ : par définition d'un majorant, $a\le \alpha$ et $b\le \beta$, donc en ajoutant, $a+b\le \alpha +\beta$. Ainsi $\alpha +\beta$ majore $A+B$. La partie $A+B$, non vide et majorée, admet une borne supérieure, et comme la borne supérieure est le plus petit des majorants, $$\sup (A+B)\le \alpha +\beta .$$

b) Le plus petit des majorants, par $\epsilon$. Soit $\epsilon >0$. La caractérisation de $\alpha =\sup A$ fournit $a\in A$ tel que $a>\alpha -\frac{\epsilon }{2}$ ; celle de $\beta$ fournit $b\in B$ tel que $b>\beta -\frac{\epsilon }{2}$. Alors $a+b$ est un élément de $A+B$ et $$a+b>\alpha +\beta -\epsilon .$$ Ceci vaut pour tout $\epsilon >0$ : aucun réel strictement inférieur à $\alpha +\beta$ ne majore $A+B$. Donc $\alpha +\beta$ est le plus petit des majorants, c'est-à-dire $$\sup (A+B)=\sup A+\sup B.$$

Le point délicat. On a coupé $\epsilon$ en deux moitiés, une pour chaque partie : c'est ce qui permet de recoller les deux approximations en une seule d'erreur $\epsilon$. On retrouvera ce découpage dans toutes les démonstrations à deux sources d'erreur.

c) La même égalité, par les suites. Le théorème du cours affirme que pour toute partie non vide majorée $X$, il existe une suite d'éléments de $X$ qui converge vers $\sup X$. Choisissons donc $(a_n)$ dans $A$ avec $a_n\to \alpha$ et $(b_n)$ dans $B$ avec $b_n\to \beta$. Pour tout $n$, $a_n+b_n\in A+B$, donc $a_n+b_n\le \sup (A+B)$. Par les opérations sur les limites, $a_n+b_n\to \alpha +\beta$, et par passage à la limite dans l'inégalité large, $$\alpha +\beta \le \sup (A+B).$$ Avec le a), on retrouve l'égalité. La borne supérieure de $A+B$ est ainsi atteinte comme limite d'éléments de $A+B$ — c'est la traduction séquentielle, qui remplace le maniement de $\epsilon$ par celui des suites.

d) Le maximum. Supposons que $A$ admette un maximum $\alpha =\max A\in A$ et $B$ un maximum $\beta \in B$. Alors $\alpha +\beta \in A+B$ et c'est la borne supérieure de $A+B$ d'après b) : c'est donc un maximum de $A+B$.

Réciproquement, supposons que $A+B$ admette un maximum, c'est-à-dire qu'il existe $a\in A$ et $b\in B$ tels que $a+b=\sup (A+B)=\alpha +\beta$. On a $a\le \alpha$ et $b\le \beta$, donc $\alpha -a\ge 0$ et $\beta -b\ge 0$, et leur somme vaut $$(\alpha -a)+(\beta -b)=(\alpha +\beta )-(a+b)=0.$$ Une somme de deux réels positifs est nulle si et seulement si les deux sont nuls : $a=\alpha$ et $b=\beta$. Donc $\alpha \in A$ et $\beta \in B$ : chacune des deux parties admet un maximum.

Ce que l'exercice installe. Une borne supérieure n'est jamais « calculée » : elle est encadrée, par une inégalité qui dit « majorant » et une inégalité qui dit « le plus petit ». La seconde se prouve au choix par un $\epsilon$ ou par une suite — les deux langages sont équivalents, et l'on gagne à savoir passer de l'un à l'autre. Ce geste resservira pour la borne supérieure d'une fonction, pour les intégrales et pour les normes.