Exercices corrigés — Nombres réels et suites numériques (mathématiques MPSI)
23 exercices avec corrigé rédigé, du plus simple au plus exigeant.
A. Nombres réels, bornes supérieures et inférieures
- Borne supérieure d'une somme de parties Exercice de TD
- Segments emboîtés. Soit ([aₙ, bₙ] )ₙ une suite de segments emboîtés… Application directe du cours
- Bornes supérieure et inférieure Application directe du cours
C. Suites monotones et suites adjacentes
- La constante d'Euler Exercice de TD
- La moyenne arithmético-géométrique Exercice de TD
- L'irrationalité de Exercice de TD
- Suites adjacentes Exercice classique
- Convergence par limite monotone Application directe du cours
D. Suites extraites et théorème de Bolzano-Weierstrass
- Bornée et divergente : deux extraites, deux limites Exercice de TD
- Divergence par suites extraites Application directe du cours
E. Densité et traduction séquentielle
- Le sup non atteint est limite d'une suite strictement croissante Exercice de TD
- Montrer que l'ensemble { r + √2 : r ∈ ℚ } est dense dans ℝ et ne… Application directe du cours
F. Suites complexes
- La suite géométrique complexe Exercice de TD
G. Suites particulières
- Quand est décroissante, la suite oscille Exercice de TD
- La méthode de Héron Exercice de TD
- Divergence quantifiée Exercice classique
- Suite de Fibonacci. Établir la formule de Binet Fₙ = (φⁿ - φ'ⁿ)/√5, et… Application directe du cours
- Récurrence linéaire d'ordre 2 Application directe du cours
- Suite arithmético-géométrique Application directe du cours
H. Problèmes et approfondissements
- Problème — Le théorème de Cesàro, le lemme de l'escalier et Exercice de TD
B. Limites : définitions, opérations, comparaison
- Montrer qu'une suite convergente à valeurs dans ℤ est stationnaire. Application directe du cours
- Déterminer la limite de uₙ = Σₖ₌₁ⁿ 1/(√(n² + k)). Application directe du cours
- Calculs de limites Application directe du cours