Suites adjacentes

Exercice classique · niveau 2 · mathématiques MPSI, chapitre 5 — Nombres réels et suites numériques · C. Suites monotones et suites adjacentes

Énoncé

Pour $n \geq 1$ , on pose $a_{n} = k = 0 \sum n \frac{1}{k !}$ et $b_{n} = a_{n} + \frac{1}{n \cdot n !}$ . Montrer que $(a_{n})$ et $(b_{n})$ sont adjacentes.

Corrigé

$(a_{n})$ est strictement croissante : $a_{n + 1} - a_{n} = \frac{1}{( n + 1 )!} > 0$ . Pour $(b_{n})$ : $b_{n + 1} - b_{n} = \frac{n ( n + 1 ) + n - ( n + 1 ) ^{2}}{n ( n + 1 ) ( n + 1 )!} = \frac{- 1}{n ( n + 1 ) ( n + 1 )!} < 0,$ donc $(b_{n})$ est strictement décroissante. Enfin $b_{n} - a_{n} = \frac{1}{n n !} \to 0$ . Les deux suites sont adjacentes ; leur limite commune est par définition le nombre $e$ , et l'on dispose de l'encadrement $a_{n} < e < b_{n}$ pour tout $n \geq 1$ .

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