Nombres réels et suites numériques

Cours · mathématiques MPSI, chapitre 5 · MPSI (classe préparatoire scientifique) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Une suite qui converge vers ℓ : à partir d'un certain rang, tous ses termes restent dans la bande de largeur 2ε.

5.1 Introduction et motivation

L'objectif de ce chapitre est de donner une base solide à l'étude des suites réelles. Le point d'appui de toute la théorie est une propriété de $R$ invisible au lycée et pourtant fondamentale : la propriété de la borne supérieure. C'est elle qui distingue $R$ de $Q$ , elle qui garantit qu'une suite croissante et majorée converge, elle qui fournira au chapitre suivant le théorème des valeurs intermédiaires.

Dans l'étude des suites, on distinguera nettement deux registres :

les aspects qualitatifs : monotonie, convergence, divergence ;
les aspects quantitatifs : majoration, encadrement, vitesse de convergence ou de divergence.

Savoir qu'une suite converge est une chose ; savoir à quelle vitesse elle approche sa limite en est une autre — c'est cette seconde question qui gouverne l'efficacité des algorithmes numériques.

5.2 Ensembles de nombres usuels

5.2.1 De $N$ à $R$

Définition 5.1Ensembles de nombres usuels

On dispose de la chaîne d'inclusions strictes :

$N \subset Z \subset D \subset Q \subset R,$

où $N$ désigne les entiers naturels, $Z$ les entiers relatifs, $D = {\frac{a}{1 0 ^{n}} : a \in Z, n \in N}$ les nombres décimaux, $Q = {\frac{p}{q} : p \in Z, q \in N^{*}}$ les rationnels et $R$ les réels. Les éléments de $R ∖ Q$ sont les irrationnels.

iRemarque

Les constructions de ces ensembles — et en particulier celle de $R$ — sont hors programme : on admet l'existence de $R$ , corps totalement ordonné contenant $Q$ et vérifiant la propriété de la borne supérieure (section suivante). Chaque inclusion est stricte : $\frac{1}{3} \in Q ∖ D$ (son développement décimal est infini), et $2 \in R ∖ Q$ comme le montre la proposition suivante.

Proposition 5.2Irrationalité de

2

$2$ est irrationnel.

Démonstration

Par l'absurde : supposons $2 = \frac{p}{q}$ avec $p, q$ entiers non nuls et la fraction irréductible. Alors $p^{2} = 2 q^{2}$ , donc $p^{2}$ est pair, donc $p$ est pair (le carré d'un impair est impair) : $p = 2 p^{'}$ . Alors $4 p^{'2} = 2 q^{2}$ , soit $q^{2} = 2 p^{'2}$ : $q$ est pair lui aussi. Les deux étant pairs, la fraction n'était pas irréductible — contradiction.

5.2.2 Approximations décimales d'un réel

Proposition 5.3Valeurs décimales approchées

Soient $x \in R$ et $n \in N$ . Le nombre décimal

$d_{n} = \frac{⌊ 1 0 ^{n} x ⌋}{1 0 ^{n}}$

vérifie $d_{n} \leq x < d_{n} + 1 0^{- n}$ : c'est la valeur décimale approchée de $x$ à $1 0^{- n}$ près par défaut, et $d_{n} + 1 0^{- n}$ est la valeur approchée par excès. La suite $(d_{n})$ est croissante et converge vers $x$ .

Démonstration

La définition de la partie entière donne $⌊ 1 0^{n} x ⌋ \leq 1 0^{n} x < ⌊ 1 0^{n} x ⌋ + 1$ ; on divise par $1 0^{n}$ . La croissance vient de $10 ⌊ 1 0^{n} x ⌋ \leq ⌊ 1 0^{n + 1} x ⌋$ , et l'encadrement $x - 1 0^{- n} < d_{n} \leq x$ donne la convergence (théorème d'encadrement, vu plus loin).

Exemple 5.4

Pour $x = π$ : $d_{0} = 3$ , $d_{1} = 3, 1$ , $d_{2} = 3, 14$ , $d_{3} = 3, 141$ , … C'est très exactement ce qu'affiche une calculatrice : une suite de décimaux qui approche $π$ à $1 0^{- n}$ près.

◆Théorème 5.5

Q

R ∖ Q

rencontrent tout intervalle ouvert

Tout intervalle ouvert non vide $] a, b [$ (avec $a < b$ ) contient au moins un rationnel et au moins un irrationnel.

Démonstration

Choisissons $n$ tel que $1 0^{- n} < b - a$ . Le décimal $d = \frac{⌊ 1 0 ^{n} a ⌋ + 1}{1 0 ^{n}}$ vérifie $a < d \leq a + 1 0^{- n} < b$ : ainsi $] a, b [$ contient le décimal (donc rationnel) $d$ . Pour un irrationnel, on applique ce résultat à l'intervalle $] a - 2, b - 2 [$ : il contient un rationnel $r$ , et $r + 2 \in] a, b [$ est irrationnel (s'il était rationnel, $2 = (r + 2) - r$ le serait aussi).

5.2.3 La droite achevée $R$

Définition 5.6Droite achevée

On note $R = R \cup {- \infty, + \infty}$ la droite achevée, obtenue en adjoignant à $R$ deux éléments $- \infty$ et $+ \infty$ avec la convention $- \infty < x < + \infty$ pour tout réel $x$ . Elle permet d'unifier les énoncés sur les limites et les bornes (toute partie non vide de $R$ a une borne supérieure dans $R$ ).

5.3 Propriété de la borne supérieure

5.3.1 Borne supérieure, borne inférieure

Définition 5.7Borne supérieure, borne inférieure

Soit $X$ une partie non vide de $R$ .

La borne supérieure de $X$ , notée $sup X$ , est le plus petit des majorants de $X$ , lorsqu'il existe.
La borne inférieure de $X$ , notée $in f X$ , est le plus grand des minorants de $X$ , lorsqu'il existe.

Proposition 5.8Caractérisation de la borne supérieure

$M = sup X$ si et seulement si :

$M$ est un majorant : $\forall x \in X, x \leq M$ ;
aucun réel plus petit n'en est un : $\forall ε > 0, \exists x \in X, x > M - ε$ .

Caractérisation analogue pour $in f X$ avec $\forall ε > 0, \exists x \in X, x < m + ε$ .

◆Théorème 5.9Propriété de la borne supérieure (admise)

Toute partie de $R$ non vide et majorée admet une borne supérieure. Toute partie non vide et minorée admet une borne inférieure.

Attention

Ne pas confondre borne supérieure et maximum : le maximum est un majorant qui appartient à $X$ . Ainsi $X = [0, 1 [$ admet $sup X = 1$ , mais pas de maximum. Lorsque le maximum existe, il est égal à la borne supérieure. C'est précisément parce que le sup existe toujours (pour une partie non vide majorée) qu'il est l'outil central de l'analyse.

Exemple 5.10

$X = {1 - \frac{1}{n} : n \in N^{*}}$ : $in f X = min X = 0$ et $sup X = 1$ , non atteint. (Pour le voir : $1$ majore $X$ , et pour tout $ε > 0$ , $1 - \frac{1}{n} > 1 - ε$ dès que $n > \frac{1}{ε}$ .)
$X = {x \in Q : x^{2} < 2}$ : $sup X = 2$ . Cette partie de $Q$ , non vide et majorée, n'a pas de borne supérieure dans $Q$ : la propriété de la borne supérieure est bien une spécificité de $R$ .

5.3.2 Caractérisation des intervalles

◆Théorème 5.11Caractérisation des intervalles de

R

Une partie $X$ de $R$ est un intervalle si et seulement si :

$\forall a, b \in X, a \leq b ⟹ [a, b] \subset X,$

c'est-à-dire si $X$ contient tout réel compris entre deux de ses éléments.

Démonstration (Idée de la démonstration)

Le sens direct est immédiat. Réciproquement, si $X$ (non vide, et par exemple bornée) vérifie cette propriété, on pose $m = in f X$ et $M = sup X$ : la propriété entraîne $] m, M [\subset X \subset [m, M]$ , donc $X$ est l'un des quatre intervalles d'extrémités $m$ et $M$ . Les cas non bornés se traitent de même avec $\pm \infty$ .

5.4 Généralités sur les suites réelles

Définition 5.12Suite réelle, modes de définition

Une suite réelle est une application $u : N \to R$ (éventuellement définie à partir d'un rang $n_{0}$ ), notée $(u_{n})_{n \in N}$ . Trois modes de définition usuels :

explicite : $u_{n} = f (n)$ , par exemple $u_{n} = \frac{n}{n + 1}$ ;
par récurrence : $u_{0}$ donné et $u_{n + 1} = f (u_{n})$ , par exemple $u_{n + 1} = 2 + u_{n}$ ;
implicite : $u_{n}$ est défini comme solution d'une équation dépendant de $n$ , par exemple « $u_{n}$ est l'unique solution de $x^{5} + n x = 1$ ».

Définition 5.13Vocabulaire des suites

Une suite $(u_{n})$ est :

majorée (resp. minorée) s'il existe $M$ tel que $u_{n} \leq M$ pour tout $n$ (resp. $m \leq u_{n}$ ) ; bornée si elle est majorée et minorée ;
croissante si $u_{n + 1} \geq u_{n}$ pour tout $n$ , strictement croissante si $u_{n + 1} > u_{n}$ ; définitions analogues en décroissant ; (strictement) monotone dans les deux cas ;
stationnaire si elle est constante à partir d'un certain rang.

Proposition 5.14

$(u_{n})$ est bornée si et seulement si $(∣ u_{n} ∣)$ est majorée.

ImportantÉtudier la monotonie d'une suite

Deux réflexes : étudier le signe de $u_{n + 1} - u_{n}$ , ou, pour une suite à termes strictement positifs, comparer $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$ à $1$ . Pour une suite explicite $u_{n} = f (n)$ , la monotonie de $f$ sur $[0, + \infty [$ suffit (chapitre précédent).

5.5 Limite d'une suite réelle

5.5.1 Définitions

Définition 5.15Limite finie, limite infinie

Soit $(u_{n})$ une suite réelle et $ℓ \in R$ .

$(u_{n})$ converge vers $ℓ$ si :

$\forall ε > 0, \exists N \in N, \forall n \geq N, ∣ u_{n} - ℓ ∣ \leq ε .$

On note $u_{n} ⟶ ℓ$ ou $lim u_{n} = ℓ$ . Une suite qui converge vers un réel est dite convergente, divergente sinon.

$(u_{n})$ tend vers $+ \infty$ si : $\forall A \in R, \exists N \in N, \forall n \geq N, u_{n} \geq A$ (définition analogue pour $- \infty$ ).

iRemarque

Les définitions sont énoncées avec des inégalités larges ( $∣ u_{n} - ℓ ∣ \leq ε$ ), conformément au programme : on vérifie facilement qu'elles sont équivalentes aux versions avec inégalités strictes. La clé de la définition : quelle que soit la précision $ε$ exigée, tous les termes de la suite finissent par approcher $ℓ$ à $ε$ près.

◆Théorème 5.16Unicité de la limite

Si $(u_{n})$ admet une limite (finie ou infinie), celle-ci est unique.

Démonstration (Démonstration dans le cas de deux limites finies)

Supposons $u_{n} \to ℓ$ et $u_{n} \to ℓ^{'}$ avec $ℓ \neq = ℓ^{'}$ , et posons $ε = \frac{∣ ℓ - ℓ ^{'} ∣}{3} > 0$ . À partir d'un certain rang, $∣ u_{n} - ℓ ∣ \leq ε$ et $∣ u_{n} - ℓ^{'} ∣ \leq ε$ , d'où par l'inégalité triangulaire :

$∣ ℓ - ℓ^{'} ∣ \leq ∣ ℓ - u_{n} ∣ + ∣ u_{n} - ℓ^{'} ∣ \leq 2 ε = \frac{2}{3} ∣ ℓ - ℓ^{'} ∣,$

ce qui est absurde puisque $∣ ℓ - ℓ^{'} ∣ > 0$ .

◆Théorème 5.17Toute suite convergente est bornée

Si $(u_{n})$ converge, alors $(u_{n})$ est bornée.

Démonstration

Avec $ε = 1$ : il existe $N$ tel que $∣ u_{n} - ℓ ∣ \leq 1$ , donc $∣ u_{n} ∣ \leq ∣ ℓ ∣ + 1$ , pour tout $n \geq N$ . Alors $∣ u_{n} ∣ \leq max (∣ u_{0} ∣, \dots, ∣ u_{N - 1} ∣, ∣ ℓ ∣ + 1)$ pour tout $n$ : un maximum d'un nombre fini de réels majore la suite.

Attention

La réciproque est fausse : $u_{n} = (- 1)^{n}$ est bornée mais divergente (on le démontrera proprement avec les suites extraites).

5.5.2 Opérations sur les limites

◆Théorème 5.18Opérations sur les limites finies

Si $u_{n} \to ℓ$ et $v_{n} \to ℓ^{'}$ (limites finies), alors pour tous scalaires $λ, μ$ :

$λ u_{n} + μ v_{n} \to λ ℓ + μ ℓ^{'}, u_{n} v_{n} \to ℓ ℓ^{'}, \frac{u _{n}}{v _{n}} \to \frac{ℓ}{ℓ ^{'}} (si ℓ^{'} \neq = 0) .$

Ces règles s'étendent aux limites infinies avec les conventions usuelles ( $+ \infty + \infty = + \infty$ , etc.), sauf pour les formes indéterminées : $+ \infty - \infty$ , $0 \times \infty$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $\frac{0}{0}$ .

Démonstration (Démonstration pour la somme (

λ = μ = 1

))

Soit $ε > 0$ . À partir d'un rang $N_{1}$ , $∣ u_{n} - ℓ ∣ \leq \frac{ε}{2}$ ; à partir d'un rang $N_{2}$ , $∣ v_{n} - ℓ^{'} ∣ \leq \frac{ε}{2}$ . Pour $n \geq max (N_{1}, N_{2})$ :

$∣ (u_{n} + v_{n}) - (ℓ + ℓ^{'}) ∣ \leq ∣ u_{n} - ℓ ∣ + ∣ v_{n} - ℓ^{'} ∣ \leq ε .$

(Les autres règles se démontrent sur le même modèle ; pour le produit, on utilise que $(u_{n})$ est bornée.)

Proposition 5.19Produit d'une suite bornée par une suite de limite nulle

Si $(u_{n})$ est bornée et $v_{n} \to 0$ , alors $u_{n} v_{n} \to 0$ .

Exercices du chapitre

Borne supérieure d'une somme de parties corrigé
La constante d'Euler corrigé
La moyenne arithmético-géométrique corrigé
L'irrationalité de $e$ corrigé
Bornée et divergente : deux extraites, deux limites corrigé
Le sup non atteint est limite d'une suite strictement croissante corrigé

La suite du cours · Tous les exercices du chapitre

Nombres réels et suites numériques

5.1 Introduction et motivation

5.2 Ensembles de nombres usuels

5.2.1 De N à R

5.2.2 Approximations décimales d'un réel

5.2.3 La droite achevée R

5.3 Propriété de la borne supérieure

5.3.1 Borne supérieure, borne inférieure

5.3.2 Caractérisation des intervalles

5.4 Généralités sur les suites réelles

5.5 Limite d'une suite réelle

5.5.1 Définitions

5.5.2 Opérations sur les limites

Exercices du chapitre

5.2.1 De $N$ à $R$

5.2.3 La droite achevée $R$