Limites, continuité, dérivabilité, convexité

• Unicité : si $f$ admet une limite en $a$, celle-ci est unique.
• Si $f$ est définie en $a$ et possède une limite en $a$, alors ${\lim }_{x\to a}f(x)=f(a)$ (en effet, $x=a$ est autorisé dans la définition, donc $|f(a)-\ell |\le \epsilon$ pour tout $\epsilon$).
• Si $f$ possède une limite finie en $a$, alors $f$ est bornée au voisinage de $a$.

La fonction partie entière vérifie $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\lfloor x\rfloor =0$ et $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\lfloor x\rfloor =1$ : pas de limite en $1$, mais des limites à gauche et à droite distinctes (le graphe « saute »).

$f$ admet $\ell \in \overline{\mathbb{R}}$ pour limite en $a$ si et seulement si, pour toute suite $(x_n)$ d'éléments de $I$ telle que $x_n\to a$, on a $f(x_n)\to \ell$.

Les théorèmes sur les suites se transposent : combinaison linéaire, produit, quotient (avec les mêmes formes indéterminées), et de plus la composition : si $f(x)\underset{x\to a}{\to }b$ et $g(y)\underset{y\to b}{\to }\ell$, alors $g(f(x))\underset{x\to a}{\to }\ell$.

• Passage à la limite : si $f\le g$ au voisinage de $a$ et si les deux limites existent, ${\lim }_{a}f\le {\lim }_{a}g$.
• Encadrement : si $g\le f\le h$ au voisinage de $a$ et $g,h\to \ell$ (finie), alors $f\to \ell$.
• Minoration (resp. majoration) : si $f\ge g$ au voisinage de $a$ et $g\to +\infty$, alors $f\to +\infty$ (resp. $f\le h\to -\infty \Rightarrow f\to -\infty$).

Soit $f$ croissante sur $]a,b[$ (avec $a,b\in \overline{\mathbb{R}}$). Alors $f$ admet en $b$ une limite à gauche, finie si $f$ est majorée (et égale à $\sup f$), égale à $+\infty$ sinon ; et de même en $a$ à droite. En particulier, une fonction monotone admet en tout point intérieur une limite à gauche et une limite à droite finies.

$f(x)=x\ln x$ se prolonge par continuité en $0$ par $\tilde{f}(0)=0$ (croissances comparées). De même $x\mapsto \frac{\sin x}{x}$ se prolonge en $0$ par la valeur $1$ : en effet $\frac{\sin x-\sin 0}{x-0}$ est un taux d'accroissement, de limite ${\sin }^{\prime }(0)=\cos 0=1$.

$f$ est continue en $a\in I$ si et seulement si pour toute suite $(x_n)$ d'éléments de $I$ convergeant vers $a$, la suite $(f(x_n))$ converge vers $f(a)$.

C'est exactement cette caractérisation qui justifie le théorème « limite et point fixe » du chapitre précédent : si $u_{n+1}=f(u_n)$ et $u_n\to \ell$ avec $f$ continue en $\ell$, alors $f(u_n)\to f(\ell )$, d'où $\ell =f(\ell )$.

Combinaisons linéaires, produits, quotients (dénominateur non nul) et composées de fonctions continues en un point sont continus en ce point. Toutes les fonctions usuelles (polynômes, fractions rationnelles, $\exp$, $\ln$, puissances, fonctions trigonométriques et hyperboliques et leurs réciproques) sont continues sur leur domaine.

Soit $f$ continue sur un intervalle $I$, et $a,b\in I$. Alors $f$ prend toute valeur comprise entre $f(a)$ et $f(b)$ : pour tout $y$ entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe $c$ entre $a$ et $b$ tel que $f(c)=y$.

La figure montre que le « $c$ » du TVI n'a aucune raison d'être unique : une fonction continue peut traverser plusieurs fois le niveau $y$. La dichotomie de la démonstration est aussi un algorithme : elle divise l'incertitude par $2$ à chaque étape — environ $3,3$ étapes par décimale gagnée (convergence géométrique de raison $\frac{1}{2}$).

L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle. Si de plus $f$ est strictement monotone et continue sur $I$ d'extrémités $a$ et $b$, alors $f(I)$ est l'intervalle d'extrémités ${\lim }_{a}f$ et ${\lim }_{b}f$, de même nature (ouvert/fermé) que $I$.

Tout polynôme réel de degré impair admet au moins une racine réelle : ses limites en $\pm \infty$ sont $-\infty$ et $+\infty$ (ou l'inverse), donc il prend des valeurs des deux signes, et le TVI conclut.

Toute fonction continue sur un segment $[a,b]$ est bornée et atteint ses bornes : il existe $c,d\in [a,b]$ tels que $f(c)=\underset{[a,b]}{\inf }f$ et $f(d)={\sup }_{[a,b]}f$. En conséquence, l'image d'un segment par une fonction continue est un segment : $f([a,b])=\left[\min f,\max f\right]$.

Une fonction continue sur un intervalle, à valeurs réelles et injective, est strictement monotone. (Démonstration non exigible.)

Soit $f$ continue et strictement monotone sur un intervalle $I$. Alors $f$ réalise une bijection de $I$ sur l'intervalle $J=f(I)$, et sa réciproque $f^{-1}:J\to I$ est continue sur $J$ et strictement monotone, de même sens de variation que $f$. (Démonstration non exigible.)

C'est ce théorème qui fonde rigoureusement les constructions du chapitre 4 : $\ln$ (réciproque de $\exp$), $\mathrm{Arcsin}$, $\mathrm{Arccos}$, $\mathrm{Arctan}$, et les racines $n$-ièmes $x\mapsto x^{1/n}$.

Pour $f:I\to \mathbb{C}$, les définitions de limite et de continuité s'étendent en remplaçant la valeur absolue par le module, et :

$$f\text{ admet pour limite }\ell \text{ en }a⟺\mathrm{Re}f\to \mathrm{Re}\ell \text{ et }\mathrm{Im}f\to \mathrm{Im}\ell \text{en }a.$$

Les opérations (combinaison linéaire, produit, quotient) restent valables ; les énoncés liés à l'ordre (TVI, limite monotone, bornes atteintes au sens de l'ordre) n'ont pas d'analogue.

$f$ est dérivable en $a$ si et seulement s'il existe un réel $\alpha$ et une fonction $\epsilon$ de limite nulle en $0$ tels que, pour tout $h$ tel que $a+h\in I$ :

$$f(a+h)=f(a)+\alpha h+h\epsilon (h).$$

Dans ce cas $\alpha =f^{\prime }(a)$. Autrement dit : au voisinage de $a$, $f$ est approchée par sa fonction affine tangente, avec une erreur négligeable devant $h$.

Si $f$ est dérivable en $a$, alors $f$ est continue en $a$. La réciproque est fausse : $x\mapsto |x|$ est continue en $0$, dérivable à gauche (de dérivée $-1$) et à droite (de dérivée $+1$), mais pas dérivable en $0$.

Géométrique : $f^{\prime }(a)$ est la pente de la tangente au graphe au point $(a,f(a))$, position limite des sécantes ; équation : $y=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)$. Cinématique : si $f(t)$ est la position d'un mobile à l'instant $t$, le taux d'accroissement est la vitesse moyenne entre $a$ et $x$, et $f^{\prime }(a)$ est la vitesse instantanée en $a$.

Si $u,v$ sont dérivables en $a$ (resp. sur $I$) :

$$(\lambda u+\mu v{)}^{\prime }=\lambda u^{\prime }+\mu v^{\prime },(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime },{\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}(v(a)\ne 0),$$

et si $g$ est dérivable en $u(a)$ : $(g\circ u{)}^{\prime }(a)=u^{\prime }(a)g^{\prime }(u(a))$. Enfin, si $f$ est bijective, dérivable en $a$ avec $f^{\prime }(a)\ne 0$, et si $f^{-1}$ est continue, alors $f^{-1}$ est dérivable en $b=f(a)$ et :

$${\left(f^{-1}\right)}^{\prime }(b)=\frac{1}{f^{\prime }(a)}=\frac{1}{f^{\prime }(f^{-1}(b))}.$$

Tangente au graphe d'une réciproque : le graphe de $f^{-1}$ étant le symétrique de celui de $f$ par rapport à la première bissectrice, la tangente en $(b,a)$ au graphe de $f^{-1}$ est la symétrique de la tangente en $(a,b)$ au graphe de $f$ — d'où la pente $\frac{1}{f^{\prime }(a)}$, et une tangente verticale lorsque $f^{\prime }(a)=0$ (par exemple $x\mapsto x^{1/3}$ en $0$, réciproque de $x\mapsto x^3$).

Si $f$ est dérivable en $a$, si $a$ est un point intérieur à $I$, et si $f$ admet un extremum local en $a$, alors :

$$f^{\prime }(a)=0.$$

Soit $f$ continue sur $[a,b]$, dérivable sur $]a,b[$, telle que $f(a)=f(b)$. Alors il existe $c\in ]a,b[$ tel que :

$$f^{\prime }(c)=0.$$

Soit $f$ continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $]a,b[$. Il existe $c\in ]a,b[$ tel que :

$$f(b)-f(a)=f^{\prime }(c)(b-a).$$

Géométrique : il existe un point du graphe où la tangente est parallèle à la corde joignant les extrémités. Cinématique : sur un trajet, il existe un instant où la vitesse instantanée égale la vitesse moyenne — c'est le principe des radars « tronçon ».

Si $f$ est dérivable sur $I$ et si $|f^{\prime }|\le K$ sur $I$, alors $f$ est $K$-lipschitzienne sur $I$.

$|\sin x-\sin y|\le |x-y|$ pour tous réels $x,y$ (car $|\cos |\le 1$) : le sinus est $1$-lipschitzien. De même $\mathrm{Arctan}$ est $1$-lipschitzienne ($|{\mathrm{Arctan}}^{\prime }|=\frac{1}{1+x^2}\le 1$).

Soit $f$ continue sur $I$, dérivable sur l'intérieur de $I$.

• $f$ est constante sur $I$ $⟺$ $f^{\prime }=0$ ;
• $f$ est croissante $⟺$ $f^{\prime }\ge 0$ (décroissante $⟺f^{\prime }\le 0$) ;
• si $f^{\prime }\ge 0$ et si $f^{\prime }$ ne s'annule sur aucun intervalle non trivial (par exemple : zéros isolés), alors $f$ est strictement croissante.

Soit $f$ continue sur $I$, dérivable sur $I\setminus \{a\}$, telle que $f^{\prime }(x)\underset{x\to a,x\ne a}{\to }\ell \in \mathbb{R}$. Alors $f$ est dérivable en $a$, avec $f^{\prime }(a)=\ell$, et $f^{\prime }$ est continue en $a$. Extension : si $\ell =\pm \infty$, alors $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\to \pm \infty$ (tangente verticale, $f$ non dérivable en $a$).

Soit $f(x)=x^2\ln x$ pour $x>0$, prolongée par $f(0)=0$. Elle est continue en $0$ ($x^2\ln x\to 0$), dérivable sur $]0,+\infty [$ avec $f^{\prime }(x)=2x\ln x+x\to 0$ : par le théorème, $f$ est dérivable en $0$, $f^{\prime }(0)=0$, et $f^{\prime }$ est continue en $0$ — le prolongement est de classe ${\mathcal{C}}^1$.

Combinaisons linéaires, produits, quotients (dénominateur ne s'annulant pas), composées et réciproques (lorsque $f^{\prime }$ ne s'annule pas) de fonctions de classe ${\mathcal{C}}^k$ sont de classe ${\mathcal{C}}^k$ (démonstrations relatives à la composition et à la réciproque non exigibles). Pour le produit, on dispose de la formule de Leibniz :

$$(fg{)}^{(n)}=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})f^{(k)}{g}^{(n-k)}.$$

Toutes les fonctions usuelles sont ${\mathcal{C}}^{\infty }$ sur leur domaine. Calcul par Leibniz, presque tous les termes étant nuls :

$${\left(x^2{e}^x\right)}^{(n)}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0}\right)x^2{e}^x+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1}\right)(2x)e^x+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)(2)e^x=\left(x^2+2nx+n(n-1)\right)e^x.$$

Pour $f:I\to \mathbb{C}$ : $f$ est dérivable en $a$ si et seulement si $\mathrm{Re}f$ et $\mathrm{Im}f$ le sont, et alors $f^{\prime }=(\mathrm{Re}f{)}^{\prime }+i(\mathrm{Im}f{)}^{\prime }$. Les opérations s'étendent. Attention : Rolle et l'EAF tombent en défaut dans $\mathbb{C}$ (la fonction $t\mapsto e^{it}$ vérifie $f(0)=f(2\pi )$ mais $|f^{\prime }|=1$ ne s'annule jamais). En revanche, l'inégalité des accroissements finis subsiste : si $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ et $|f^{\prime }|\le K$ sur $I$, alors $f$ est $K$-lipschitzienne — l'inégalité résulte d'une majoration d'intégrale, $\left|{\int }_a^b{f}^{\prime }\right|\le {\int }_a^b|f^{\prime }|$, qui sera justifiée dans le chapitre d'intégration.

Quand $\lambda$ parcourt $[0,1]$, le point $((1-\lambda )x+\lambda y,(1-\lambda )f(x)+\lambda f(y))$ parcourt la corde joignant les points du graphe d'abscisses $x$ et $y$. La convexité signifie donc : le graphe est situé au-dessous de chacune de ses cordes (entre les deux extrémités).

$x\mapsto x^2$, $x\mapsto |x|$, $x\mapsto e^x$ sont convexes sur $\mathbb{R}$ ; $\ln$ est concave sur ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$ ; $\sin$ est concave sur $[0,\pi ]$. ($|x|$ montre qu'une fonction convexe n'est pas nécessairement dérivable.)

Soit $f$ convexe sur $I$. Pour tous réels positifs ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ de somme $1$ et tous $x_1,\dots ,x_n\in I$ :

$$f\left(\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{x}_i\right)\le \sum _{i=1}^n{\lambda }_{i}f(x_i).$$

$f$ est convexe sur $I$ si et seulement si, pour tout $a\in I$, la fonction « pente issue de $a$ » :

$$x⟼\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$

est croissante sur $I\setminus \{a\}$. En conséquence, pour $x<y<z$ dans $I$ :

$$\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\le \frac{f(z)-f(x)}{z-x}\le \frac{f(z)-f(y)}{z-y}.$$

Soit $f$ convexe et $x<y$ dans $I$. Le graphe de $f$ est au-dessous de la corde sur $[x,y]$, et au-dessus de la droite $(\text{seˊcante})$ prolongée à l'extérieur de $[x,y]$.

Soit $f$ dérivable sur $I$. Les assertions suivantes sont équivalentes :

• $f$ est convexe sur $I$ ;
• $f^{\prime }$ est croissante sur $I$ ;
• le graphe de $f$ est situé au-dessus de chacune de ses tangentes :

$$\forall a,x\in I,f(x)\ge f(a)+f^{\prime }(a)(x-a).$$

Si de plus $f$ est deux fois dérivable : $f$ est convexe si et seulement si $f^{\prime \prime }\ge 0$ sur $I$.

• $\exp$ est convexe (${\exp }^{\prime \prime }=\exp >0$) : la tangente en $0$ donne $e^x\ge 1+x$ — l'inégalité du chapitre 4, désormais lue géométriquement.
• $\ln$ est concave (${\ln }^{\prime \prime }=-\frac{1}{x^2}<0$) : la tangente en $1$ donne $\ln x\le x-1$.
• $\sin$ est concave sur $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ : le graphe est au-dessus de la corde joignant $(0,0)$ à $\left(\frac{\pi }{2},1\right)$, d'où $\sin x\ge \frac{2}{\pi }x$, et en dessous de la tangente en $0$ : $\sin x\le x$.

Déterminer les limites suivantes :

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1+x}-1}{x},\underset{x\to 0}{\lim }x\sin \frac{1}{x},\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}.$$

La fonction $f(x)=x|x|$ est-elle dérivable sur $\mathbb{R}$ ? Est-elle de classe ${\mathcal{C}}^1$ ? De classe ${\mathcal{C}}^2$ ?

Montrer que l'équation $x=\cos x$ admet une unique solution dans $\mathbb{R}$, située dans $\left]0,\frac{\pi }{2}\right[$.

Soit $f:[0,1]\to [0,1]$ continue. Montrer que $f$ admet (au moins) un point fixe. Le résultat subsiste-t-il sur $]0,1[$ ?

Soit $f$ dérivable sur $[0,1]$ avec $f(0)=f(1)=0$. Montrer qu'il existe $c\in ]0,1[$ tel que :

$$f^{\prime }(c)=f(c).$$

À l'aide de l'égalité des accroissements finis, montrer que pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ :

$$\frac{1}{n+1}<\ln (n+1)-\ln n<\frac{1}{n},$$

et en déduire que $H_n={\sum }_{k=1}^n\frac{1}{k}\to +\infty$.

Soit $f(x)=x^2\sin \frac{1}{x}$ pour $x\ne 0$, et $f(0)=0$. Montrer que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ mais que $f^{\prime }$ n'est pas continue en $0$. Quelle conséquence pour le théorème de la limite de la dérivée ?

Soit $u_0=0$ et $u_{n+1}=\cos u_n$. Montrer que $(u_n)$ converge vers l'unique solution $\ell$ de $\cos x=x$, avec la majoration $|u_n-\ell |\le (\sin 1{)}^{n-1}$ pour $n\ge 1$. Combien d'itérations garantissent une précision de $10^{-6}$ ?

On cherche à résoudre $f(x)=0$ pour $f(x)=x^3-2$ (calcul de $\sqrt[3]{2}$).

• Écrire l'itération de Newton $x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}$ pour cette fonction.
• Calculer $x_1,x_2,x_3$ à partir de $x_0=1$ et comparer à $\sqrt[3]{2}\approx 1,259921$.

Montrer que pour tous réels strictement positifs $x_1,\dots ,x_n$ :

$$\sqrt[n]{x_1{x}_2\cdots x_n}\le \frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n},$$

avec égalité si et seulement si tous les $x_i$ sont égaux.