Limites, continuité, dérivabilité, convexité

Cours · mathématiques MPSI, chapitre 6 · MPSI (classe préparatoire scientifique) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Théorème des valeurs intermédiaires : une fonction continue sur [a, b] atteint la valeur k en un point c.

6.1 Introduction et motivation

Ce chapitre démontre les théorèmes de base relatifs aux fonctions réelles d'une variable réelle — ceux-là mêmes qui avaient été admis au chapitre 4 pour les besoins du calcul — et développe l'étude des fonctions convexes amorcée en terminale. Dans de nombreuses questions de nature qualitative, on visualise une fonction par son graphe : cet aspect géométrique sera souligné par de nombreuses figures.

Dans tout le chapitre, $I$ désigne un intervalle de $R$ non vide et non réduit à un point, et les fonctions sont à valeurs réelles (sauf dans les brèves sections consacrées aux fonctions complexes).

Définition 6.1Propriété vraie au voisinage d'un point

Soit $a \in R$ . On dit qu'une propriété portant sur $f : I \to R$ est vraie au voisinage de $a$ si elle est vraie sur l'intersection de $I$ avec : un intervalle ouvert centré en $a$ si $a \in R$ ; un intervalle $] A, + \infty [$ si $a = + \infty$ ; un intervalle $] - \infty, A [$ si $a = - \infty$ .

L'étude des suites récurrentes $u_{n + 1} = f (u_{n})$ sera l'occasion d'introduire la vitesse de convergence (lente, géométrique, quadratique) et la méthode de Newton ; celle de la dérivabilité, de présenter la discrétisation à travers la méthode d'Euler.

6.2 Limite d'une fonction en un point

6.2.1 Définitions

Définition 6.2Limite finie ou infinie en un point

Soient $a \in R$ un point de $I$ ou une extrémité de $I$ , et $ℓ \in R$ . On dit que $f$ admet $ℓ$ pour limite en $a$ , et on note $f (x) x \to a ℓ$ ou $lim_{x \to a} f (x) = ℓ$ , si :

cas $a \in R$ : $\forall ε > 0, \exists η > 0, \forall x \in I, ∣ x - a ∣ \leq η ⟹ ∣ f (x) - ℓ ∣ \leq ε$ ;
cas $a = + \infty$ : $\forall ε > 0, \exists A \in R, \forall x \in I, x \geq A ⟹ ∣ f (x) - ℓ ∣ \leq ε$ .

Les limites infinies se définissent de même : $f (x) \to + \infty$ en $a \in R$ signifie $\forall B, \exists η > 0, \forall x \in I, ∣ x - a ∣ \leq η \Rightarrow f (x) \geq B$ . (Toutes les définitions sont énoncées avec des inégalités larges, comme pour les suites.)

Proposition 6.3Premières propriétés

Unicité : si $f$ admet une limite en $a$ , celle-ci est unique.
Si $f$ est définie en $a$ et possède une limite en $a$ , alors $lim_{x \to a} f (x) = f (a)$ (en effet, $x = a$ est autorisé dans la définition, donc $∣ f (a) - ℓ ∣ \leq ε$ pour tout $ε$ ).
Si $f$ possède une limite finie en $a$ , alors $f$ est bornée au voisinage de $a$ .

Définition 6.4Limites à droite et à gauche

La limite à droite de $f$ en $a$ est, lorsqu'elle existe, la limite en $a$ de la restriction de $f$ à $I \cap] a, + \infty [$ ; on la note $x \to a x > a lim f (x)$ ou $x \to a^{+} lim f (x)$ . Définition analogue à gauche.

Exemple 6.5

La fonction partie entière vérifie $x \to 1^{-} lim ⌊ x ⌋ = 0$ et $x \to 1^{+} lim ⌊ x ⌋ = 1$ : pas de limite en $1$ , mais des limites à gauche et à droite distinctes (le graphe « saute »).

6.2.2 Caractérisation séquentielle

◆Théorème 6.6Caractérisation séquentielle de la limite

$f$ admet $ℓ \in R$ pour limite en $a$ si et seulement si, pour toute suite $(x_{n})$ d'éléments de $I$ telle que $x_{n} \to a$ , on a $f (x_{n}) \to ℓ$ .

Démonstration (Démonstration (cas

a

ℓ

réels))

Sens direct : soit $ε > 0$ et $η$ associé par la définition de la limite. Comme $x_{n} \to a$ , on a $∣ x_{n} - a ∣ \leq η$ à partir d'un rang $N$ , donc $∣ f (x_{n}) - ℓ ∣ \leq ε$ pour $n \geq N$ .

Réciproque, par contraposée : si $f$ ne tend pas vers $ℓ$ en $a$ , il existe $ε > 0$ tel que pour tout $η = \frac{1}{n + 1}$ , on trouve $x_{n} \in I$ avec $∣ x_{n} - a ∣ \leq \frac{1}{n + 1}$ et $∣ f (x_{n}) - ℓ ∣ > ε$ : la suite $(x_{n})$ tend vers $a$ sans que $f (x_{n})$ tende vers $ℓ$ .

Important

Double usage de cette caractérisation : transférer aux fonctions tous les théorèmes sur les suites (opérations, encadrement…), et prouver qu'une limite n'existe pas en exhibant deux suites $x_{n} \to a$ et $y_{n} \to a$ avec $f (x_{n})$ et $f (y_{n})$ de limites différentes. Ainsi $x \mapsto sin \frac{1}{x}$ n'a pas de limite en $0$ : prendre $x_{n} = \frac{1}{2 nπ + π /2}$ (valeurs $1$ ) et $y_{n} = \frac{1}{2 nπ}$ (valeurs $0$ ).

6.2.3 Opérations et comparaison

◆Théorème 6.7Opérations sur les limites

Les théorèmes sur les suites se transposent : combinaison linéaire, produit, quotient (avec les mêmes formes indéterminées), et de plus la composition : si $f (x) x \to a b$ et $g (y) y \to b ℓ$ , alors $g (f (x)) x \to a ℓ$ .

◆Théorème 6.8Limites et inégalités

Passage à la limite : si $f \leq g$ au voisinage de $a$ et si les deux limites existent, $lim_{a} f \leq lim_{a} g$ .
Encadrement : si $g \leq f \leq h$ au voisinage de $a$ et $g, h \to ℓ$ (finie), alors $f \to ℓ$ .
Minoration (resp. majoration) : si $f \geq g$ au voisinage de $a$ et $g \to + \infty$ , alors $f \to + \infty$ (resp. $f \leq h \to - \infty \Rightarrow f \to - \infty$ ).

◆Théorème 6.9Théorème de la limite monotone

Soit $f$ croissante sur $] a, b [$ (avec $a, b \in R$ ). Alors $f$ admet en $b$ une limite à gauche, finie si $f$ est majorée (et égale à $sup f$ ), égale à $+ \infty$ sinon ; et de même en $a$ à droite. En particulier, une fonction monotone admet en tout point intérieur une limite à gauche et une limite à droite finies.

6.3 Continuité en un point

Définition 6.10Continuité en un point

Soit $a \in I$ . La fonction $f$ est continue en $a$ si $f (x) x \to a f (a)$ , c'est-à-dire :

$\forall ε > 0, \exists η > 0, \forall x \in I, ∣ x - a ∣ \leq η ⟹ ∣ f (x) - f (a) ∣ \leq ε .$

On définit de même la continuité à gauche et à droite ; $f$ est continue en $a$ si et seulement si elle l'est à gauche et à droite.

Définition 6.11Prolongement par continuité

Si $a$ est une extrémité de $I$ n'appartenant pas à $I$ et si $f$ admet une limite finie $ℓ$ en $a$ , la fonction $f ~$ définie sur $I \cup {a}$ par $f ~ = f$ sur $I$ et $f ~ (a) = ℓ$ est continue en $a$ : c'est le prolongement par continuité de $f$ en $a$ .

Exemple 6.12

$f (x) = x ln x$ se prolonge par continuité en $0$ par $f ~ (0) = 0$ (croissances comparées). De même $x \mapsto \frac{sin x}{x}$ se prolonge en $0$ par la valeur $1$ : en effet $\frac{s i n x - s i n 0}{x - 0}$ est un taux d'accroissement, de limite $sin^{'} (0) = cos 0 = 1$ .

◆Théorème 6.13Caractérisation séquentielle de la continuité

$f$ est continue en $a \in I$ si et seulement si pour toute suite $(x_{n})$ d'éléments de $I$ convergeant vers $a$ , la suite $(f (x_{n}))$ converge vers $f (a)$ .

iRemarque

C'est exactement cette caractérisation qui justifie le théorème « limite et point fixe » du chapitre précédent : si $u_{n + 1} = f (u_{n})$ et $u_{n} \to ℓ$ avec $f$ continue en $ℓ$ , alors $f (u_{n}) \to f (ℓ)$ , d'où $ℓ = f (ℓ)$ .

Proposition 6.14Opérations

Combinaisons linéaires, produits, quotients (dénominateur non nul) et composées de fonctions continues en un point sont continus en ce point. Toutes les fonctions usuelles (polynômes, fractions rationnelles, $exp$ , $ln$ , puissances, fonctions trigonométriques et hyperboliques et leurs réciproques) sont continues sur leur domaine.

6.4 Continuité sur un intervalle

6.4.1 Théorème des valeurs intermédiaires

Définition 6.15

$f$ est continue sur $I$ si elle est continue en tout point de $I$ .

◆Théorème 6.16Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Soit $f$ continue sur un intervalle $I$ , et $a, b \in I$ . Alors $f$ prend toute valeur comprise entre $f (a)$ et $f (b)$ : pour tout $y$ entre $f (a)$ et $f (b)$ , il existe $c$ entre $a$ et $b$ tel que $f (c) = y$ .

Démonstration (Principe de la démonstration : dichotomie)

Quitte à remplacer $f$ par $\pm (f - y)$ , on se ramène à : $f (a) \leq 0 \leq f (b)$ , et on cherche un zéro de $f$ . On pose $[a_{0}, b_{0}] = [a, b]$ et on coupe en deux : si $f$ prend une valeur $\leq 0$ et une valeur $\geq 0$ aux extrémités de la moitié gauche, on la garde, sinon on garde la moitié droite. On construit ainsi des segments emboîtés $[a_{n}, b_{n}]$ avec $f (a_{n}) \leq 0 \leq f (b_{n})$ et $b_{n} - a_{n} = \frac{b - a}{2 ^{n}} \to 0$ : les suites $(a_{n})$ et $(b_{n})$ sont adjacentes, de limite commune $c$ . Par continuité et passage à la limite dans les inégalités : $f (c) = lim f (a_{n}) \leq 0$ et $f (c) = lim f (b_{n}) \geq 0$ , donc $f (c) = 0$ .

iRemarque

La figure montre que le « $c$ » du TVI n'a aucune raison d'être unique : une fonction continue peut traverser plusieurs fois le niveau $y$ . La dichotomie de la démonstration est aussi un algorithme : elle divise l'incertitude par $2$ à chaque étape — environ $3, 3$ étapes par décimale gagnée (convergence géométrique de raison $\frac{1}{2}$ ).

↳Corollaire 6.17Image d'un intervalle

L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle. Si de plus $f$ est strictement monotone et continue sur $I$ d'extrémités $a$ et $b$ , alors $f (I)$ est l'intervalle d'extrémités $lim_{a} f$ et $lim_{b} f$ , de même nature (ouvert/fermé) que $I$ .

Exemple 6.18Existence de racines

Tout polynôme réel de degré impair admet au moins une racine réelle : ses limites en $\pm \infty$ sont $- \infty$ et $+ \infty$ (ou l'inverse), donc il prend des valeurs des deux signes, et le TVI conclut.

6.4.2 Théorème des bornes atteintes

◆Théorème 6.19Théorème des bornes atteintes

Toute fonction continue sur un segment $[a, b]$ est bornée et atteint ses bornes : il existe $c, d \in [a, b]$ tels que $f (c) = [a, b] in f f$ et $f (d) = sup_{[a, b]} f$ . En conséquence, l'image d'un segment par une fonction continue est un segment : $f ([a, b]) = [min f, max f]$ .

Démonstration (Démonstration (pour la borne supérieure))

Notons $M = sup {f (x) : x \in [a, b]} \in R$ . Par traduction séquentielle des bornes (chapitre 5), il existe une suite $(x_{n})$ de $[a, b]$ telle que $f (x_{n}) \to M$ . La suite $(x_{n})$ est bornée : par Bolzano-Weierstrass, on en extrait $x_{φ (n)} \to d \in [a, b]$ . Par continuité de $f$ en $d$ : $f (x_{φ (n)}) \to f (d)$ ; or $f (x_{φ (n)}) \to M$ (suite extraite), donc $M = f (d)$ : $M$ est fini et atteint.

Attention

Les deux hypothèses sont essentielles : $x \mapsto \frac{1}{x}$ est continue sur $] 0, 1]$ (intervalle non fermé) et non bornée ; $x \mapsto x$ sur $[0, 1 [$ n'atteint pas sa borne supérieure ; et la fonction $x \mapsto x - ⌊ x ⌋$ sur le segment $[0, 2]$ (non continue) a pour borne supérieure $1$ , jamais atteinte. Retenir : continue $+$ segment.

6.4.3 Théorème de la bijection

◆Théorème 6.20Injectivité et stricte monotonie

Une fonction continue sur un intervalle, à valeurs réelles et injective, est strictement monotone. (Démonstration non exigible.)

◆Théorème 6.21Théorème de la bijection

Soit $f$ continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ . Alors $f$ réalise une bijection de $I$ sur l'intervalle $J = f (I)$ , et sa réciproque $f^{- 1} : J \to I$ est continue sur $J$ et strictement monotone, de même sens de variation que $f$ . (Démonstration non exigible.)

iRemarque

C'est ce théorème qui fonde rigoureusement les constructions du chapitre 4 : $ln$ (réciproque de $exp$ ), $Arcsin$ , $Arccos$ , $Arctan$ , et les racines $n$ -ièmes $x \mapsto x^{1/ n}$ .

6.5 Fonctions complexes : limites et continuité

Proposition 6.22Brève extension

Pour $f : I \to C$ , les définitions de limite et de continuité s'étendent en remplaçant la valeur absolue par le module, et :

$f admet pour limite ℓ en a ⟺ Re f \to Re ℓ et Im f \to Im ℓ en a .$

Les opérations (combinaison linéaire, produit, quotient) restent valables ; les énoncés liés à l'ordre (TVI, limite monotone, bornes atteintes au sens de l'ordre) n'ont pas d'analogue.

Exercices du chapitre

Continuité d'une fonction monotone : les sauts se lisent sur l'image corrigé
L'équation fonctionnelle de Cauchy corrigé
Le théorème des cordes universelles corrigé
Rolle itéré et les polynômes de Legendre corrigé
Deux vitesses de convergence : le cosinus itéré et la méthode de Newton corrigé
La fonction plateau : $e^{- 1/ x}$ est $C^{\infty}$ corrigé

La suite du cours · Tous les exercices du chapitre