Exercices corrigés — Limites, continuité, dérivabilité, convexité (mathématiques MPSI)
22 exercices avec corrigé rédigé, du plus simple au plus exigeant.
A. Limites de fonctions
- Continuité d'une fonction monotone : les sauts se lisent sur l'image Exercice de TD
- Montrer, par la caractérisation séquentielle, que x ↦ cos 1/x n'a pas… Application directe du cours
- Soit f : ℝ → ℝ périodique et admettant une limite finie en +∞. Montrer… Application directe du cours
- Calculs de limites Application directe du cours
B. Continuité et grands théorèmes
- L'équation fonctionnelle de Cauchy Exercice de TD
- Le théorème des cordes universelles Exercice de TD
- Théorème du point fixe Application directe du cours
- TVI et équation Application directe du cours
D. Rolle, accroissements finis
- Rolle itéré et les polynômes de Legendre Exercice de TD
- Une application de Rolle Application directe du cours
- EAF et série harmonique Application directe du cours
C. Dérivabilité : calculs et raccordements
- Dérivable sans dérivée continue Exercice classique
- La fonction plateau : est Exercice de TD
- Soit f(x) = tan x sur ]-π/2, π/2 [. Justifier que f est bijective, que… Application directe du cours
- Prolongement et dérivabilité Application directe du cours
E. Suites récurrentes et méthodes numériques
- Deux vitesses de convergence : le cosinus itéré et la méthode de Newton Exercice de TD
- La méthode de Newton Exercice classique
H. Points critiques, extremums et fonctions à valeurs complexes
- Le mouvement circulaire : Rolle est faux dans Exercice de TD
F. Convexité
- Jensen et les trois moyennes Exercice de TD
- Une fonction convexe est continue à l'intérieur Exercice de TD
- Soient A, B, C les angles d'un triangle (A + B + C = π). Montrer que :… Application directe du cours