Théorème du point fixe

Posons $g(x)=f(x)-x$, continue sur $[0,1]$. Comme $f$ est à valeurs dans $[0,1]$ : $g(0)=f(0)\ge 0$ et $g(1)=f(1)-1\le 0$. Par le TVI, $g$ s'annule : il existe $c\in [0,1]$ avec $f(c)=c$.

Sur $]0,1[$, c'est faux : $f(x)=\frac{x}{2}$ envoie $]0,1[$ dans $]0,1[$, mais son seul point fixe est $0$, qui n'appartient pas à $]0,1[$. Le caractère fermé du segment est essentiel.