Théorème du point fixe

Application directe du cours · niveau 2 · mathématiques MPSI, chapitre 6 — Limites, continuité, dérivabilité, convexité · B. Continuité et grands théorèmes

Énoncé

Soit $f : [0, 1] \to [0, 1]$ continue. Montrer que $f$ admet (au moins) un point fixe. Le résultat subsiste-t-il sur $] 0, 1 [$ ?

Corrigé

Posons $g (x) = f (x) - x$ , continue sur $[0, 1]$ . Comme $f$ est à valeurs dans $[0, 1]$ : $g (0) = f (0) \geq 0$ et $g (1) = f (1) - 1 \leq 0$ . Par le TVI, $g$ s'annule : il existe $c \in [0, 1]$ avec $f (c) = c$ .

Sur $] 0, 1 [$ , c'est faux : $f (x) = \frac{x}{2}$ envoie $] 0, 1 [$ dans $] 0, 1 [$ , mais son seul point fixe est $0$ , qui n'appartient pas à $] 0, 1 [$ . Le caractère fermé du segment est essentiel.

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